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第1章 误差 1

1.1 数值方法 1

1.2 误差 2

1.3 浮点运算和舍入误差 5

1.3.1 计算机中数的表示 5

1.3.2 浮点运算和舍入误差 7

习题1 12

第2章 解线性方程组的直接方法 14

2.1 解线性方程组的Gauss消去法 14

2.1.1 Gauss消去法 15

2.1.2 Gauss列主元消去法 19

2.1.3 Gauss按比例列主元消去法 23

2.1.4 Gauss-Jordan消去法 27

2.2 直接三角分解法 28

2.2.1 Gauss消去法的矩阵表示形式 28

2.2.2 矩阵三角分解 32

2.2.3 解线性方程组的Crout方法 34

2.2.4 Cholesky分解 41

2.2.5 LDLT分解 45

2.2.6 解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法） 49

2.3 行列式和逆矩阵的计算 53

2.3.1 行列式的计算 53

2.3.2 逆矩阵的计算 55

2.4 向量和矩阵的范数 58

2.4.1 向量的范数 58

2.4.2 矩阵范数 65

2.4.3 向量和矩阵序列的极限 72

2.5 误差分析 77

2.5.1 条件数和摄动理论初步 77

2.5.2 舍入误差 82

习题2 83

第3章 解线性方程组的迭代法 90

3.1 迭代法的基本理论 90

3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 93

3.2.1 Jacobi迭代法 93

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 97

3.3 逐次超松弛迭代法（SOR方法） 103

3.4 共轭斜量法 107

习题3 115

第4章 插值法 119

4.1 引言 119

4.2 Lagrange插值公式 120

4.2.1 Lagrange插值多项式 120

4.2.2 线性插值和抛物线插值 122

4.2.3 插值公式的余项 123

4.3 均差与Newton插值公式 127

4.3.1 均差 128

4.3.2 Newton均差插值多项式 130

4.4 有限差与等距点的插值公式 133

4.4.1 有限差 133

4.4.2 Newton前差和后差插值公式 135

4.5 Hermite插值公式 138

4.6 样条插值 142

4.6.1 分段多项式插值 142

4.6.2 三次样条插值 144

习题4 152

第5章 函数逼近 156

5.1 函数逼近的基本概念 156

5.2 最佳一致逼近 158

5.3 最佳平方逼近 161

5.4 直交多项式 164

5.4.1 直交多项式系及其基本性质 164

5.4.2 Chebyshev多项式 169

5.4.3 Legendre多项式 174

5.4.4 其他常用的直交多项式 177

5.5 近似最佳一致逼近 179

5.5.1 Lagrange插值余项的极小化 179

5.5.2 幂级数项数的缩短 181

5.6 函数按直交多项式展开 183

习题5 187

第6章 数据的最小二乘拟合 189

6.1 线性最小二乘拟合问题 189

6.2 Chebyshev多项式在数据拟合中的应用 197

6.3 离散的Fourier变换 202

习题6 207

第7章 数值积分 209

7.1 Newton-Cotes型求积公式 210

7.1.1 插值求积公式 210

7.1.2 Newton-Cotes型求积公式 211

7.1.3 梯形公式和Simpson公式 212

7.1.4 离散误差和数值稳定性 212

7.2 复合求积公式 214

7.2.1 复合梯形公式 214

7.2.2 变步长梯形公式 216

7.2.3 复合Simpson公式 218

7.3 Romberg积分法 221

7.3.1 Euler-Maclaurin公式 221

7.3.2 Romberg积分法 224

7.4 自适应Simpson积分法 229

7.5 Gauss型数值求积公式 233

7.5.1 代数精确度概念 234

7.5.2 Gauss型求积公式 236

7.5.3 Gauss-Legendre求积公式 241

7.5.4 Gauss-Laguerre求积公式 245

7.5.5 Gauss-Chebyshev求积公式 246

习题7 247

第8章 解非线性方程和方程组的数值方法 252

8.1 解非线性方程的迭代法 252

8.2 区间分半法 253

8.3 不动点迭代和加速迭代收敛 256

8.3.1 不动点迭代法 256

8.3.2 加速迭代收敛方法 263

8.4 Newton-Raphson方法 266

8.5 割线法 272

8.6 多项式求根 275

8.6.1 计算多项式的值的Horner算法 275

8.6.2 求多项式根的Newton法 276

8.6.3 Muller方法 277

8.7 解非线性方程组的Newton法 280

8.7.1 Fréchet导数 281

8.7.2 解非线性方程组的Newton法 284

8.7.3 拟Newton法 287

习题8 293

第9章 常微分方程初值问题的数值解法 298

9.1 离散变量法和离散误差 298

9.2 单步法 302

9.2.1 Euler方法 303

9.2.2 改进的Euler方法 306

9.2.3 Runge-Kutta方法 307

9.2.4 自适应Runge-Kutta方法 314

9.3 单步法的相容性、收敛性和稳定性 316

9.3.1 相容性 316

9.3.2 收敛性 317

9.3.3 稳定性 318

9.4 线性多步法 321

9.4.1 Adams方法 322

9.4.2 预测-校正方法 328

9.4.3 Hamming方法 331

9.5 线性多步法的相容性、收敛性和数值稳定性 337

9.6 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法 340

9.6.1 微分方程组 340

9.6.2 高阶微分方程 344

习题9 345

第10章 常微分方程边值问题的数值解法 349

10.1 差分方法 349

10.1.1 解二阶线性微分方程第一边值问题的差分方法 350

10.1.2 非线性微分方程 352

10.2 打靶法 353

习题10 356

第11章 求线性方程组的最小二乘解的数值方法 357

11.1 线性方程组的最小二乘解 357

11.2 法方程组 358

11.3 直交分解 361

11.3.1 直交分解和线性方程组的最小二乘解 361

11.3.2 Householder变换 362

11.3.3 列主元QR方法 371

习题11 372

第12章 矩阵特征值问题 374

12.1 引言 374

12.2 乘幂法 374

12.2.1 乘幂法 374

12.2.2 乘幂法的加速 380

12.2.3 反乘幂法（逆迭代法） 383

12.3 Householder方法 386

12.4 QR方法 394

12.4.1 Givens变换 394

12.4.2 基本的QR方法 395

12.4.3 带原点平移的QR方法 396

习题12 400

参考文献 402

部分习题答案 403