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前言 1

第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数的运算及表示方法 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的运算 1

1.1.3 复数的表示方法 3

1.1.4 扩充复平面 5

1.2 复数的乘幂与方根 6

1.2.1 复数的乘积与商 6

1.2.2 复数的乘幂与方根 7

1.3 复平面上的点集 9

1.3.1 区域 9

1.3.2 曲线 10

1.3.3 单连通域、多连通域 11

1.4 复变函数的概念及其几何意义 11

1.4.1 复变函数的概念 11

1.4.2 复变函数的几何意义 12

1.4.3 反函数 14

1.5 复变函数极限与连续 15

1.5.1 复变函数的极限 15

1.5.2 复变函数的连续 16

习题1 17

第2章 解析函数 20

2.1 复变函数的导数 20

2.1.1 复变函数的导数与微分 20

2.1.2 可导与连续的关系 22

2.1.3 求导法则 22

2.1.4 函数可导的充分必要条件 22

2.2 解析函数 24

2.2.1 解析函数的概念 25

2.2.2 函数解析的充分必要条件 25

2.2.3 解析函数的运算法则 26

2.3 解析函数与调和函数 26

2.3.1 调和函数的概念 27

2.3.2 解析函数与调和函数的关系 27

2.4 初等函数 29

2.4.1 指数函数 29

2.4.2 对数函数 30

2.4.3 幂函数 32

2.4.4 三角函数 32

2.4.5 双曲函数 33

2.4.6 反三角函数与反双曲函数 34

习题2 35

第3章 复变函数积分 37

3.1 复变函数积分概念 37

3.1.1 复积分的定义 37

3.1.2 复积分的性质 38

3.1.3 复积分的计算 40

3.2 柯西积分定理 41

3.2.1 柯西积分定理 41

3.2.2 复合闭路定理 42

3.3 复变函数不定积分 44

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式 46

3.4.1 柯西积分公式 46

3.4.2 高阶导数公式 48

习题3 49

第4章 级数 52

4.1 复数项级数 52

4.1.1 复数列的极限 52

4.1.2 复数项级数 54

4.2 幂级数 56

4.2.1 复变函数项级数 56

4.2.2 幂级数 57

4.3 泰勒级数 61

4.3.1 泰勒定理 61

4.3.2 一些初等函数的泰勒展开式 63

4.4 洛朗级数 65

4.4.1 洛朗级数 65

4.4.2 解析函数的洛朗展开 67

习题4 71

第5章 留数 73

5.1 孤立奇点 73

5.1.1 孤立奇点的分类 73

5.1.2 函数的零点与极点的关系 75

5.1.3 函数在无穷远点的性态 77

5.2 留数 79

5.2.1 留数的定义及留数定理 79

5.2.2 函数在极点处的留数计算规则 80

5.2.3 函数在无穷远点的留数 82

5.3 留数在定积分计算上的应用 84

习题5 88

第6章 共形映射 91

6.1 共形映射 91

6.1.1 导数的几何意义 91

6.1.2 共形映射的概念 93

6.2 分式线性映射 93

6.2.1 分式线性函数的定义 93

6.2.2 分式线性函数的分解 94

6.2.3 分式线性映射性质 95

6.2.4 分式线性映射的应用 98

6.3 幂函数与指数函数所确定的映射 102

习题6 105

第7章 傅里叶变换 107

7.1 傅里叶积分定理 107

7.1.1 傅里叶积分 107

7.1.2 傅里叶积分定理 109

7.2 傅氏变换 110

7.2.1 傅氏变换 110

7.2.2 单位脉冲函数及傅氏变换 111

7.3 傅氏变换的性质 112

7.4 卷积定理与相关函数 115

7.4.1 卷积定理 115

7.4.2 相关函数 116

习题7 118

第8章 拉普拉斯变换 120

8.1 拉普拉斯变换的概念 120

8.1.1 拉氏变换 120

8.1.2 拉氏变换的存在定理 121

8.1.3 周期函数的拉氏变换 122

8.2 拉氏变换的性质 122

8.3 拉氏逆变换 125

8.4 卷积 127

8.5 拉氏变换的应用 128

8.5.1 常系数线性常微分方程或方程组求解 128

8.5.2 线性系统的传递函数 130

习题8 131

部分习题参考答案 135

参考文献 146