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第一篇 空间解析几何学 2

第一章 基本概念及矢量代数初步 2

1.空间有向线段的射影 2

2.空间直角坐标系 3

3.有向线段的坐标 7

4.矢量概念 11

5.矢量的标量积 13

附注（1）矢量的矢量积，（2）矢量函数的求导 16

第二章 平面、直线及曲面的方程 18

6.平面方程的法式 18

7.三元一次方程 19

8.两平面的交角 22

9.空间直线方程 24

10.有向三角形的射影 28

11.空间坐标轴的旋转 32

12.曲面方程举例 34

第二篇 多元函数的微分学 42

第三章 偏导数与全微分 42

13.多元函数概念 42

14.二重极限 45

15.二元函数在一点上及在定义域内的连续性 51

16.偏导数 55

17.二元函数的可导性与可微性 59

18.方向导数 62

19.链导法的推广 65

20.全微分 69

21.二元函数的拉格朗日定理与泰勒定理 73

附注（1）关于重极限的存在问题，（2）闭集与开集，（3）极限归并原则，（4）再论二元函数在一个自变量固定时的极限 74

第四章 从隐函数研究曲线及曲面 80

22.方程在一点邻近的解开 80

23.隐函数求导法 84

24.平面曲线、空间曲线与曲面的讨论 87

25.平面曲线的奇点 92

26.坐标变换与反变换 94

27.球面坐标与柱面坐标 98

28.二元函数的极值问题 101

附注（1）平面的参数方程，（2）曲面的参数方程，（3）空间曲线的曲率与挠率，弗雷内公式，（4）极值的充分条件 109

第三篇 无穷级数 122

第五章 常数项与函数项级数 122

29.无穷级数的收敛与发散 122

30.正项级数的收敛问题 125

31.绝对收敛与条件收敛 131

32.函数项级数的一致收敛问题 135

33.函数项级数的逐项积分与求导问题 144

34.幂级数 148

35.函数展开为幂级数问题 152

36.无穷级数与反常积分 158

37.复变量幂级数 160

附注（1）柯西普遍审敛准则应用于级数，（2）级数项易位问题，（3）级数的相乘，（4）阿贝尔审敛准则，（5）阿贝尔定理的证明，（6）无穷乘积 165

第六章 傅里叶级数 175

38.三角级数与周期函数 175

39.函数的傅里叶级数 177

40.傅里叶级数的收敛问题 180

41.傅里叶级数举例 184

42.正交函数系 191

43.傅里叶级数的复数形式 195

附注（1）吉布斯现象，（2）傅里叶级数的逐项求积分 196

第四篇 多元函数的积分学 202

第七章 重积分及其应用 202

44.含参数的定积分 202

45.二重积分概念 208

46.重积分的基本特性 212

47.矩形域上重积分的计算 215

48.任意域上重积分的计算 218

49.重积分转换于极坐标 222

50.三重积分略说 225

51.反常重积分 227

52.用重积分计算体积 230

53.曲面的面积 234

54.重积分在物理学中的简单应用 239

附注（1）重极限与累极限的关系，（2）含参数的反常积分 246

第八章 线积分与面积分 253

55.线积分概念 253

56.线积分与路线无关的问题 257

57.全微分求积分问题 259

58.线积分的基本定理 262

59.矢量场与标量场 266

60.联系重积分与线积分的高斯定理 271

61.格林公式 278

62.面积分概念 279

63.联系重积分与面积分的奥斯特罗格拉茨基定理 284

64.联系面积分与线积分的斯托克斯定理 286

附注（1）重积分转换式，（2）斯托克斯定理的证明，（3）矢量场作为旋度场的充分条件 288

第五篇 微分方程 294

第九章 一阶微分方程 294

65.一阶微分方程的几何意义 294

66.变量可分离的一阶微分方程 298

67.用变量转换求变量的分离 300

68.一阶线性微分方程 305

69.全微分方程 309

70.单参数曲线族的微分方程 314

71.一阶微分方程组 316

附注（1）平面曲线族的包络，（2）克莱罗微分方程，（3）欧拉-柯西折线近似积分法 317

第十章 二阶线性微分方程 322

72.解的存在定理 322

73.齐次二阶线性微分方程的解 323

74.常系数齐次二阶线性微分方程 328

75.简谐振动与阻尼振动 330

76.非齐次二阶线性微分方程 334

77.强迫振动 339

78.贝塞尔微分方程略说 340

附注（1）二阶微分方程的边值问题，（2）高于二阶的常系数齐次线性微分方程的基解组 342

第十一章 数学物理学中的偏微分方程 345

79.求积分的几种简单方法 345

80.波动方程的初值问题 352

81.圆域上拉普拉斯方程的边值问题 355

82.自由的弦振动 357

83.阻尼的弦振动 364

84.热传导方程 366

第六篇 复变函数的微积分学 370

第十二章 解析函数的特性 370

85.可导性的条件 370

86.解析函数的反函数 376

87.复变函数的定积分与不定积分 377

88.柯西-古尔萨基本定理 382

89.从复变对数到复变初等函数 385

90.解析函数与保形映射 389

91.柯西-古尔萨基本定理的一种应用 402

92.柯西积分公式 406

93.解析函数的泰勒展开 409

94.解析函数的洛朗展开 411

95.留数定理 415

96.解析函数与拉普拉斯方程 419

参考书目 422