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第1章 函数、极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1函数的概念 1

1.1.2函数的几种特性 3

1.1.3反函数与复合函数 5

1.1.4初等函数 6

习题1.1 10

1.2数列的极限 12

1.2.1数列的概念 12

1.2.2数列极限的定义 13

1.2.3收敛数列的性质 15

习题1.2 16

1.3函数的极限 16

1.3.1 x→x0时函数f（x）的极限 17

1.3.2 x→∞时函数f（x）的极限 19

1.3.3函数极限的性质 20

习题1.3 21

1.4无穷小量与无穷大量 22

1.4.1无穷小量 22

1.4.2无穷大量 23

习题1.4 25

1.5极限运算法则 26

1.5.1极限的四则运算法则 26

1.5.2复合函数的极限运算法则 28

习题1.5 29

1.6极限存在准则和两个重要极限 30

1.6.1极限存在准则 30

1.6.2两个重要极限 31

1.6.3连续复利公式 34

习题1.6 34

1.7无穷小量的比较 35

1.7.1无穷小量比较的概念 35

1.7.2无穷小量的等价代换 36

习题1.7 37

1.8函数的连续性 38

1.8.1函数连续性的概念 38

1.8.2函数的间断点及其分类 40

1.8.3连续函数的运算及初等函数的连续性 42

习题1.8 43

1.9闭区间上连续函数的性质 44

1.9.1最值定理与有界性定理 44

1.9.2零点定理与介值定理 45

习题1.9 46

第2章 导数与微分 47

2.1导数的概念 47

2.1.1引例 47

2.1.2导数的定义 48

2.1.3导数的几何意义 52

2.1.4可导与连续的关系 52

习题2.1 53

2.2求导法则 54

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则 54

2.2.2反函数的求导法则 55

2.2.3复合函数的求导法则 56

2.2.4基本求导法则与导数公式 58

习题2.2 59

2.3高阶导数 61

习题2.3 63

2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 63

2.4.1隐函数的导数 63

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 66

习题2.4 67

2.5函数的微分 68

2.5.1微分的定义 68

2.5.2基本初等函数的微分公式与微分运算法则 70

2.5.3微分的几何意义 72

2.5.4微分在近似计算中的应用 73

习题2.5 74

第3章 中值定理与导数的应用 75

3.1微分中值定理 75

3.1.1罗尔定理 75

3.1.2拉格朗日中值定理 77

3.1.3柯西中值定理 79

习题3.1 80

3.2洛必达法则 81

3.2.1 0/0型未定式 81

3.2.2 ∞/∞型未定式 83

3.2.3 0·∞、∞—∞、00、1∞、∞0型未定式 83

习题3.2 85

3.3函数单调性的判别法 85

习题3.3 88

3.4函数的极值及最大值、最小值问题 89

3.4.1函数的极值及其求法 89

3.4.2最大值与最小值问题 92

习题3.4 94

3.5曲线的凹凸性与拐点 95

习题3.5 98

3.6函数图形的描绘 98

3.6.1渐近线 98

3.6.2函数图形的描绘 99

习题3.6 102

3.7导数与微分在经济学中的简单应用 102

3.7.1经济学中的常用函数 102

3.7.2边际分析 104

3.7.3弹性分析 106

3.7.4经济学中的最值问题 108

习题3.7 110

第4章 不定积分 112

4.1不定积分的概念、性质 112

4.1.1原函数 112

4.1.2不定积分的概念 113

4.1.3不定积分的性质 114

4.1.4基本积分表 115

习题4.1 118

4.2换元积分法 118

4.2.1第一类换元积分法 119

4.2.2第二类换元积分法 123

习题4.2 127

4.3分部积分法 128

习题4.3 131

4.4有理函数的不定积分 132

习题4.4 134

第5章 定积分及其应用 136

5.1定积分的概念与性质 136

5.1.1面积、路程和收入问题 136

5.1.2定积分的定义 138

5.1.3定积分的性质 140

习题5.1 142

5.2微积分基本公式 143

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 143

5.2.2积分上限的函数及其导数 144

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式 145

习题5.2 146

5.3定积分的换元法和分部积分法 148

5.3.1定积分的换元法 148

5.3.2定积分的分部积分法 151

习题5.3 153

5.4定积分在几何学及经济学中的应用 154

5.4.1定积分的元素法 154

5.4.2定积分在几何学中的应用 155

5.4.3定积分在经济学中的应用 159

习题5.4 161

5.5反常积分 162

5.5.1无穷限的反常积分 163

5.5.2无界函数的反常积分 164

习题5.5 166

第6章 多元函数微积分 167

6.1空间解析几何简介 167

6.1.1空间直角坐标系 167

6.1.2空间曲面与方程 169

习题6.1 171

6.2多元函数的基本概念 171

6.2.1多元函数的概念 171

6.2.2二元函数的极限 173

6.2.3多元函数的连续性 175

习题6.2 176

6.3偏导数及其在经济学中的应用 177

6.3.1偏导数的定义及计算方法 177

6.3.2偏导数的几何意义、函数的偏导数存在与连续的关系 178

6.3.3高阶偏导数 179

6.3.4偏导数在经济学中的应用 181

习题6.3 183

6.4全微分及其应用 184

6.4.1全微分 184

6.4.2全微分在近似计算中的应用 186

习题6.4 187

6.5多元复合函数的求导法则 187

习题6.5 192

6.6隐函数的求导公式 192

6.6.1由F（x，y）＝0确定的隐函数的导数 193

6.6.2由F（x，y，z）＝0确定的隐函数的导数 194

6.6.3由方程组｛F（x，y，u，v）＝0 G（x，y，u，v）＝0确定的隐函数的导数 194

习题6.6 195

6.7多元函数的极值及应用 196

6.7.1二元函数的极值 196

6.7.2二元函数的最值 198

6.7.3条件极值，拉格朗日乘数法 199

习题6.7 200

6.8二重积分 201

6.8.1二重积分的概念 201

6.8.2二重积分的性质 204

6.8.3二重积分的计算方法 206

习题6.8 216

第7章 无穷级数 219

7.1常数项级数的概念与性质 219

7.1.1常数项级数的概念 219

7.1.2常数项级数的基本性质 222

习题7.1 224

7.2正项级数及其审敛法 226

7.2.1正项级数 226

7.2.2正项级数的比较审敛法 226

7.2.3正项级数的比值审敛法与根值审敛法 230

习题7.2 232

7.3任意项级数 233

7.3.1交错级数及其审敛法 233

7.3.2绝对收敛与条件收敛 234

习题7.3 236

7.4幂级数 237

7.4.1幂级数的概念及其收敛域 237

7.4.2幂级数的运算 241

习题7.4 243

7.5函数的幂级数展开及其应用 244

7.5.1泰勒级数 245

7.5.2函数展开成幂级数的方法 246

7.5.3函数的幂级数展开式的应用 249

习题7.5 251

第8章 微分方程与差分方程 253

8.1微分方程 253

8.1.1引例 253

8.1.2微分方程的基本概念 255

习题8.1 257

8.2一阶微分方程 258

8.2.1可分离变量的一阶微分方程 258

8.2.2齐次方程 260

8.2.3一阶线性微分方程 262

8.2.4伯努利方程 265

习题8.2 266

8.3一阶微分方程在经济学中的应用 267

8.3.1改进的人口增长模型（阻滞增长模型） 267

8.3.2连续复利模型 268

8.3.3供需平衡模型 269

习题8.4 270

8.4可降阶的二阶微分方程 270

8.4.1y″＝f（x）型的微分方程 270

8.4.2y″＝f（x，y′）型的微分方程 271

8.4.3y″＝f（y，y′）型的微分方程 272

习题8.4 273

8.5二阶常系数线性微分方程 274

8.5.1二阶常系数线性微分方程解的结构 274

8.5.2二阶常系数齐次线性微分方程 275

8.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程 278

习题8.5 282

8.6差分方程 283

8.6.1差分的概念 283

8.6.2差分方程的概念 285

8.6.3常系数线性差分方程解的结构 286

习题8.6 287

8.7一阶常系数线性差分方程 288

8.7.1一阶常系数齐次线性差分方程 288

8.7.2一阶常系数非齐次线性差分方程 289

习题8.7 291

第9章 MATLAB在微积分中的应用 293

9.1 MATLAB的基本操作 293

9.2 MATLAB在一元微积分中的应用 296

9.2.1曲线绘图 296

9.2.2函数和极限 298

9.2.3导数和微分 303

9.2.4导数的应用 304

9.2.5不定积分、定积分及定积分的应用 306

9.2.6常微分方程的求解 309

9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 309

9.3.1空间曲线、曲面绘图 309

9.3.2二元函数的极限、偏导数 310

9.3.3二元函数的极值 312

9.3.4二重积分及其应用 313

9.4 MATLAB在级数中的应用 314

习题9 317

附录 319

附录Ⅰ 部分常用数学公式 319

附录Ⅱ 二阶行列式简介 320

附录Ⅲ 极坐标系 321

习题参考答案与提示 323

参考文献 347