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1 函数 1

1.1 函数的概念 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 单射、满射与双射 4

1.1.3 反函数 7

1.1.4 复合函数 7

习题 8

1.2 反三角函数 8

1.2.1 反正弦函数 9

1.2.2 反余弦函数 9

1.2.3 反正切函数 9

1.2.4 反余切函数 10

习题 10

1.3 函数的基本性质 12

1.3.1 函数的基本性质 12

1.3.2 初等函数 13

习题 17

2 函数的极限 19

2.1 极限的概念 19

2.1.1 数列极限的定义 19

2.1.2 函数的极限 24

习题 29

2.2 无穷小与无穷大 31

2.2.1 无穷小 31

2.2.2 无穷大 32

2.2.3 无穷大与无穷小的关系 32

2.2.4 无穷小的比较 34

习题 35

2.3 两个重要极限 35

习题 40

3 函数的连续性 41

3.1 函数连续性的概念 41

3.1.1 函数的增量 41

3.1.2 函数y=f（x）在点x0处的连续性 41

3.1.3 函数y=f（x）在区间上的连续性 43

3.1.4 函数的间断点 43

3.2 连续函数的性质 45

3.2.1 初等函数的连续性 45

3.2.2 闭区间上连续函数的性质 46

习题 48

4 导数和微分 50

4.1 导数的概念 50

4.1.1 引例 50

4.1.2 函数在一点处的导数 52

4.1.3 导函数、导数值 52

4.1.4 导数的几何意义 55

4.1.5 可导与连续的关系 55

习题 56

4.2 导数的基本公式与求导法则 56

4.2.1 导数的基本公式 56

4.2.2 函数四则运算求导法则 57

4.3 反函数、复合函数的求导法则 59

4.3.1 反函数的求导法则 59

4.3.2 复合函数的求导法则 60

4.4 高阶导数与隐函数求导法 62

4.4.1 高阶导数的概念 62

4.4.2 隐函数的导数 64

习题 65

4.5 微分 68

4.5.1 微分概念 68

4.5.2 微分的几何意义 69

4.5.3 微分公式及运算法则 70

4.5.4 微分的应用 72

习题 74

5 微分中值定理及其应用 75

5.1 微分中值定理 75

5.1.1 费马定理 75

5.1.2 罗尔（Rolle）定理 76

5.1.3 拉格朗日（lagrange）中值定理 77

5.1.4 柯西中值定理 80

习题 80

5.2 不定式的洛必达法则 81

5.2.1 未定式的洛必达法则 81

5.2.2 其他类型的未定式 84

习题 85

5.3 函数的单调性与极值 86

5.3.1 函数单调性的判别法 86

5.3.2 函数的极值及其求法 88

5.3.3 函数的最大值和最小值 91

习题 92

6 不定积分 94

6.1 不定积分的概念与性质 94

6.1.1 原函数 94

6.1.2 不定积分的概念 95

6.1.3 不定积分的几何意义 96

6.1.4 积分的基本公式 97

6.1.5 积分的基本运算法则 98

6.1.6 直接积分法 98

习题 99

6.2 换元积分法 100

6.2.1 第一类换元积分法（又称凑微分法） 100

6.2.2 第二类换元积分法 104

习题 108

6.3 分部积分法 109

习题 112

7 定积分 113

7.1 定积分的概念 113

7.1.1 问题的引入 113

7.1.2 定积分的概念 115

7.1.3 定积分的几何意义 116

7.2 定积分的性质 117

习题 119

7.3 定积分基本定理 119

7.3.1 变上限积分函数 120

7.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 121

习题 123

7.4 定积分的换元积分法与分部积分法 124

7.4.1 定积分的换元积分法 124

7.4.2 定积分的分部积分法 126

习题 127

7.5 无穷区间上的广义积分 128

7.5.1 无穷积分的概念 128

7.5.2 无穷积分的计算 129

习题 130

7.6 定积分的应用案例 131

7.6.1 求平面图形的面积 131

7.6.2 求旋转体的体积 133

7.6.3 变力沿直线做功 136

4.6.4 经济应用举例 136

习题 138

8 多元函数微分学 140

8.1 空间解析几何简介 140

8.1.1 空间直角坐标系 140

8.1.2 空间两点间的距离 141

8.1.3 曲面与方程 141

8.2 多元函数的概念 145

8.2.1 区域 145

8.2.2 二元函数 147

8.2.3 二元函数的极限 148

8.2.4 二元函数的连续 149

习题 150

8.3 偏导数 151

8.3.1 多元函数的偏导数 151

8.3.2 高阶偏导数 154

习题 155

8.4 全微分 155

8.4.1 全微分 155

8.4.2 全微分在近似计算中的应用 157

习题 158

8.5 复合函数的求导法则 158

8.5.1 多元复合函数的求导法则 158

8.5.2 二元隐函数的求导法 160

习题 161

8.6 多元函数的极值与最值 161

8.6.1 二元函数的极值 162

8.6.2 二元函数的最值 163

8.6.3 条件极值与拉格朗日乘数法 165

习题 166

9 多元函数积分学 167

9.1 二重积分的概念 167

9.2 二重积分的性质 169

9.3 二重积分的计算 171

9.4 二重积分应用举例 177

习题 179

10 常微分方程 181

10.1 常微分方程的基本概念 181

习题 183

10.2 一阶微分方程的解法 184

10.2.1 可分离变量的微分方程 184

10.2.2 一阶线性微分方程的解法 186

习题 188

10.3 二阶线性微分方程解的结构 189

10.3.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 189

10.3.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 190

习题 191

10.4 二阶常系数线性微分方程的解法 191

10.4.1 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 192

10.4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解 193

习题 196

参考文献 197