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第1章 行列式 1

1.1 二阶和三阶行列式 1

1.1.1 二阶行列式 1

1.1.2 三阶行列式 2

1.1.3 二阶与三阶行列式的关系 3

1.2 n阶行列式 5

1.2.1 n阶行列式的定义 5

1.2.2 n阶行列式展开定理 6

1.3 行列式的性质 7

1.4 行列式的计算 10

1.5 克拉默法则 15

习题1 18

第2章 矩阵 22

2.1 矩阵的概念 22

2.1.1 矩阵的定义 23

2.1.2 一些特殊的矩阵 24

2.2 矩阵的运算 24

2.2.1 矩阵的线性运算 24

2.2.2 矩阵的乘法 26

2.2.3 方阵的幂 29

2.2.4 矩阵的转置 30

2.2.5 方阵的行列式 32

2.3 逆矩阵 34

2.3.1 逆矩阵的概念 34

2.3.2 矩阵可逆的充分必要条件 34

2.3.3 可逆矩阵的性质 37

2.4 矩阵分块 38

2.4.1 分块矩阵的基本运算 38

2.4.2 分块对角矩阵 39

2.4.3 按行分块矩阵和按列分块矩阵 41

2.4.4 线性方程组的两种等价记法 43

2.5 矩阵的初等变换 44

2.5.1 矩阵的初等变换 45

2.5.2 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 46

2.5.3 用初等变换求逆矩阵 48

2.5.4 用初等变换求解矩阵方程 49

2.6 矩阵的秩 51

习题2 55

第3章 线性方程组 59

3.1 线性方程组的解 59

3.1.1 线性方程组的概念 59

3.1.2 线性方程组有解的判别法 60

3.2 n维向量及向量组的线性组合 65

3.2.1 向量组与矩阵 65

3.2.2 线性组合与线性表示 66

3.2.3 向量组的等价 69

3.3 向量组的线性相关性 70

3.3.1 线性相关性概念 70

3.3.2 线性相关性的判定 72

3.4 向量组的秩 74

3.4.1 向量组的最大线性无关组 74

3.4.2 向量组的最大线性无关组的求法 75

3.5 向量空间 78

3.5.1 向量空间与子空间 78

3.5.2 向量空间的基与维数 80

3.6 齐次线性方程组解的结构 81

3.6.1 齐次线性方程组解的性质 81

3.6.2 齐次线性方程组解的结构 81

3.7 非齐次线性方程组解的结构 88

3.7.1 非齐次线性方程组解的性质 88

3.7.2 非齐次线性方程组解的结构 88

习题3 90

第4章 相似矩阵与二次型 93

4.1 正交矩阵 93

4.1.1 向量的内积 93

4.1.2 n维向量的长度和夹角 94

4.1.3 向量组的正交性 94

4.1.4 正交矩阵与正交变换 97

4.2 矩阵的特征值与特征向量 98

4.2.1 特征值与特征向量 99

4.2.2 特征值和特征向量的性质 101

4.3 相似矩阵 103

4.3.1 相似矩阵的概念与性质 103

4.3.2 方阵的对角化 104

4.3.3 实对称矩阵的对角化 106

4.4 二次型 109

4.4.1 二次型的概念及其矩阵 109

4.4.2 化二次型为标准形 111

4.5 正定二次型 114

4.5.1 正定二次型的定义 114

4.5.2 正定二次型的判别 114

习题4 116

第5章 线性空间与线性变换 118

5.1 线性空间 118

5.1.1 线性空间的定义和例子 118

5.1.2 线性空间的简单性质 119

5.1.3 子空间 120

5.2 基、维数与坐标 120

5.2.1 线性空间的基与维数 120

5.2.2 坐标 121

5.2.3 同构 122

5.3 基变换与坐标变换公式 122

5.3.1 基变换与过渡矩阵 122

5.3.2 坐标变换 123

5.4 线性变换及其矩阵 125

5.4.1 线性变换及其性质 125

5.4.2 线性变换的矩阵表示 126

习题5 130

第6章 线性代数与Mathematica 132

参考答案 137

参考文献 146