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第八章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、多元函数概念 1

二、二元函数的极限 5

三、二元函数的连续性 8

习题8-1 11

第二节 偏导数 12

一、偏导数的定义及其计算法 12

二、高阶偏导数 16

习题8-2 19

第三节 全微分及其应用 20

一、全微分的定义 20

二、全微分在近似计算中的应用 24

习题8-3 27

第四节 多元复合函数的求导法则 28

习题8-4 33

第五节 隐函数的求导公式 34

一、一个方程的情形 34

二、方程组的情形 37

习题8-5 40

第六节 偏导数的几何应用 41

一、空间曲线的切线与法平面 41

二、曲面的切平面与法线 45

习题8-6 48

第七节 方向导数与梯度 49

一、方向导数 49

二、梯度 51

习题8-7 56

第八节 多元函数的极值及其求法 56

一、多元函数的极值及最大值、最小值 56

二、条件极值拉格朗日乘数法 62

习题8-8 65

第九节 二元函数的泰勒公式 66

一、二元函数的泰勒公式 66

二、极值充分条件的证明 71

习题8-9 73

第十节 最小二乘法 73

习题8-10 80

第九章 重积分 81

第一节 二重积分的概念与性质 81

一、二重积分的概念 81

二、二重积分的性质 85

习题9-1 87

第二节 二重积分的计算法 88

一、利用直角坐标计算二重积分 88

习题9-2（1） 96

二、利用极坐标计算二重积分 98

习题9-2（2） 104

三、二重积分的换元法 106

习题9-2（3） 111

第三节 二重积分的应用 112

一、曲面的面积 113

二、平面薄片的重心 116

三、平面薄片的转动惯量 118

习题9-3 119

第四节 三重积分的概念及其计算法 120

习题9-4 124

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 125

一、利用柱面坐标计算三重积分 125

二、利用球面坐标计算三重积分 127

习题9-5 132

第六节 含参变量的积分 133

习题9-6 140

第十章 曲线积分与曲面积分 141

第一节 曲线积分的概念与性质 141

一、对弧长的曲线积分的概念 141

二、对坐标的曲线积分的概念 143

三、曲线积分的性质 146

习题10-1 147

第二节 曲线积分的计算法 148

一、对弧长的曲线积分的计算法 148

二、对坐标的曲线积分的计算法 152

三、两类曲线积分之间的联系 157

习题10-2 159

第三节 格林公式及其应用 161

一、格林公式 161

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 164

三、二元函数的全微分求积 167

习题10-3 171

第四节 曲面积分的概念与性质 173

一、对面积的曲面积分 173

二、对坐标的曲面积分 174

三、曲面积分的性质 179

习题10-4 179

第五节 曲面积分的计算法 180

一、对面积的曲面积分的计算法 180

二、对坐标的曲面积分的计算法 184

三、两类曲面积分之间的联系 186

习题10-5 187

第六节 高斯公式 通量与散度 189

一、高斯公式 189

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 193

三、通量与散度 194

习题10-6 197

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 198

一、斯托克斯公式 198

二、空间曲线积分与路径无关的条件 202

三、环流量与旋度 203

习题10-7 206

第十一章 无穷级数 207

第一节 常数项级数的概念和性质 207

一、常数项级数的概念 207

二、无穷级数的基本性质 210

三、级数收敛的必要条件 213

四、柯西审敛原理 214

习题11-1 215

第二节 常数项级数的审敛法 217

一、正项级数及其审敛法 217

二、交错级数及其审敛法 224

三、绝对收敛与条件收敛 225

习题11-2 231

第三节 广义积分的审敛法 Γ-函数 232

一、广义积分的审敛法 232

二、Γ-函数 238

习题11-3 240

第四节 幂级数 241

一、函数项级数的一般概念 241

二、幂级数及其收敛性 242

三、幂级数的运算 247

习题11-4 250

第五节 函数展开成幂级数 251

一、泰勒级数 251

二、函数展开成幂级数 253

习题11-5 260

第六节 函数的幂级数展开式的应用 260

一、近似计算 260

二、欧拉公式 265

习题11-6 267

第七节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 268

一、函数项级数的一致收敛性 268

二、一致收敛级数的基本性质 272

习题11-7 277

第八节 傅立叶级数 278

一、三角级数 三角函数系的正交性 278

二、函数展开成傅立叶级数 281

习题11-8 289

第九节 正弦级数和余弦级数 289

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 289

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 294

习题11-9 296

第十节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 296

习题11-10 300

第十一节 傅立叶级数的复数形式 300

习题11-11 303

第十二章 微分方程 305

第一节 微分方程的基本概念 305

习题12-1 310

第二节 可分离变量的微分方程 311

习题12-2 318

第三节 齐次方程 319

一、齐次方程 319

二、可化为齐次的方程 323

习题12-3 325

第四节 一阶线性微分方程 326

一、线性方程 326

二、贝努利方程 330

习题12-4 331

第五节 全微分方程 332

习题12-5 335

第六节 欧拉-柯西近似法 336

习题12-6 339

第七节 可降阶的高阶微分方程 340

一、y(n)=f（x）型的微分方程 340

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 342

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 346

习题12-7 349

第八节 高阶线性微分方程及其解的结构 350

一、二阶线性微分方程举例 350

二、线性微分方程的解的结构 353

习题12-8 356

第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 357

习题12-9 367

第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 368

一、f(x)=eλxPm（x）型 369

二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 372

习题12-10 376

第十一节 欧拉方程 377

习题12-11 379

第十二节 微分方程的幂级数解法举例 379

习题12-12 384

第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 384

习题12-13 387