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第一篇 高等数学 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1 函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 3

例题分析 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 5

三、求反函数的表达式 6

四、关于函数有界（无界）的讨论 7

2 极限 7

内容精讲 7

一、定义 7

二、重要性质、定理、公式 9

三、计算极限的一些有关方法 10

例题分析 12

一、求函数的极限 12

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 17

三、含有｜x｜，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 20

四、无穷小的比较 20

五、数列的极限 21

六、极限运算定理的正确运用 24

3 函数的连续与间断 27

内容精讲 27

一、定义 27

二、重要性质、定理、公式 28

例题分析 28

一、讨论函数的连续与间断 28

二、在连续条件下求参数 29

三、连续函数的零点问题 30

第二章 一元函数微分学 31

考点与要求 31

1 导数与微分，导数的计算 31

内容精讲 31

一、定义 31

二、重要性质、定理、公式 32

例题分析 35

一、按定义求一点处的导数 35

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数 36

三、绝对值函数的导数 41

四、由极限式表示的函数的可导性 42

五、导数与微分、增量的关系 43

六、求导数的计算题 43

2 导数的应用 45

内容精讲 45

一、定义 45

二、重要性质、定理、公式与方法 46

例题分析 47

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 47

二、渐近线 50

三、曲率与曲率圆 51

四、最大值、最小值问题 52

3 中值定理、不等式与零点问题 53

内容精讲 53

一、重要定理 53

二、重要方法 54

例题分析 56

一、不等式的证明 56

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 60

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 62

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f〃（x））的零点 63

五、“双中值”问题 64

六、零点的个数问题 65

七、证明存在某ξ满足某不等式 66

八、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 67

第三章 一元函数积分学 69

考点与要求 69

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 69

内容精讲 69

一、定义 69

二、重要性质、定理、公式 70

例题分析 71

一、分段函数的不定积分与定积分 71

二、定积分与原函数的存在性 73

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 74

2 不定积分与定积分的计算 77

内容精讲 77

一、基本积分公式 77

二、基本积分方法 78

例题分析 80

一、简单有理分式的积分 80

二、三角函数的有理分式的积分 81

三、简单无理式的积分 81

四、两种不同类型的函数相乘的积分 83

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 84

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 85

七、含参变量带绝对值号的定积分 87

八、积分计算杂例 88

3 反常积分及其计算 90

内容精讲 90

一、定义 90

二、重要性质、定理、公式 91

例题分析 92

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 92

二、关于奇、偶函数的反常积分 94

4 定积分的应用 95

内容精讲 95

一、基本方法 95

二、重要几何公式与物理应用 96

例题分析 97

一、几何应用 97

二、物理应用 99

5 定积分的证明题 103

内容精讲 103

例题分析 103

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 103

二、由积分定义的函数求极限 104

三、积分不等式的证明 106

四、零点问题 111

第四章 多元函数微积分学 114

考点与要求 114

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 114

内容精讲 114

一、多元函数 114

二、二元函数的极限与连续 114

三、二元函数的偏导数与全微分 115

例题分析 117

一、讨论二重极限 117

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 119

三、讨论二元函数的可微性 120

2 多元函数的微分法 124

内容精讲 124

一、复合函数的偏导数与全微分 124

二、隐函数的偏导数与全微分 126

例题分析 126

一、求复合函数的偏导数与全微分 126

二、求隐函数的偏导数与全微分 134

3 极值与最值 138

内容精讲 138

一、无条件极值 138

二、条件极值 139

例题分析 139

一、无条件极值问题 139

二、条件极值（最值）问题 142

三、多元函数的最大（小）值问题 143

4 二重积分 147

内容精讲 147

一、二重积分的定义及几何意义 147

二、二重积分的性质 147

三、二重积分的计算 147

例题分析 150

一、计算二重积分 150

二、累次积分交换积分次序及计算 159

三、与二重积分有关的综合题 162

四、与二重积分有关的积分不等式问题 164

第五章 常微分方程 168

考点与要求 168

1 常微分方程 168

考点与要求 168

一、微分方程的基本概念 168

二、常见的几类一阶方程及解法 168

三、可降阶的高阶微分方程 169

四、高阶线性方程 169

例题分析 171

一、微分方程求解 171

二、微分方程的综合题 177

三、微分方程的应用 179

第二篇 线性代数 183

第一章 行列式 183

考点与要求 183

内容精讲 183

例题分析 186

一、数字型行列式的计算 186

二、抽象型行列式的计算 192

三、行列式｜A｜是否为零的判定 194

四、关于代数余子式求和 194

第二章 矩阵 197

考点与要求 197

内容精讲 197

1 矩阵的概念及运算 197

一、矩阵的概念 197

二、矩阵的运算 198

三、矩阵的运算规则 198

四、特殊矩阵 199

2 可逆矩阵 200

一、可逆矩阵的概念 200

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 200

三、逆矩阵的运算性质 200

四、求逆矩阵的方法 200

3 初等变换、初等矩阵 201

一、定义 201

二、初等矩阵与初等变换的性质 201

4 矩阵的秩 202

一、矩阵秩的概念 202

二、矩阵秩的公式 202

5 分块矩阵 203

一、分块矩阵的概念 203

二、分块矩阵的运算 203

例题分析 204

一、矩阵的概念及运算 204

二、特殊方阵的幂 208

三、伴随矩阵的相关问题 210

四、可逆矩阵的相关问题 212

五、初等变换、初等矩阵 216

六、矩阵秩的计算 217

第三章 向量 222

考点与要求 222

内容精讲 222

1 n维向量的概念与运算 222

2 线性表出、线性相关 223

3 极大线性无关组、秩 224

4 Schmidt正交化、正交矩阵 224

例题分析 225

一、线性相关的判别 225

二、向量的线性表示 226

三、线性相关与线性无关的证明 228

四、秩与极大线性无关组 231

五、正交化、正交矩阵 233

第四章 线性方程组 235

考点与要求 235

内容精讲 235

1 克拉默法则 235

2 齐次线性方程组 235

3 非齐次线性方程组 237

例题分析 238

一、线性方程组的基本概念题 238

二、线性方程组的求解 241

三、基础解系 247

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A 249

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 250

六、两个方程组的公共解 251

七、同解方程组 252

八、线性方程组的有关杂题 254

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 257

考点与要求 257

内容精讲 257

1 特征值、特征向量 257

一、定义 257

二、特征值的性质 257

三、求特征值、特征向量的方法 257

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 258

一、定义 258

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 258

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 259

3 实对称矩阵的相似对角化 259

一、定义 259

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 259

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 259

例题分析 260

一、特征值，特征向量的求法 260

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 264

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 265

四、矩阵是否相似于对角阵 266

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 269

六、由特征值、特征向量反求A 269

七、矩阵相似及相似标准形 270

八、相似对角阵的应用 274

第六章 二次型 279

考点与要求 279

内容精讲 279

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 279

一、二次型概念 279

二、二次型的矩阵表示 279

2 化二次型为标准形、规范形合同二次型 280

一、定义 280

3 正定二次型、正定矩阵 281

一、定义 281

例题分析 282

一、二次型的矩阵表示 282

二、化二次型为标准形、规范形 283

三、合同矩阵、合同二次型 289

四、正定性的判别 292

五、正定二次型的证明 296

六、综合题 297