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第一篇 基础模块 3

第1章 函数、极限与连续 3

1.1 函数 3

1.1.1 常量与变量 3

1.1.2 函数的定义 3

1.1.3 函数的几种特性 7

1.1.4 基本初等函数 9

1.1.5 复合函数和初等函数 13

练习题1.1 14

1.2 极限的概念 14

1.2.1 数列的极限 15

1.2.2 函数的极限 16

1.2.3 无穷小量与无穷大量 19

练习题1.2 21

1.3 极限的运算 21

1.3.1 极限的四则运算法则 21

1.3.2 两个重要极限 23

1.3.3 无穷小量的比较 25

练习题1.3 26

1.4 函数的连续性 27

1.4.1 函数连续的概念 27

1.4.2 函数的间断 28

1.4.3 初等函数的连续性 29

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 30

练习题1.4 31

趣味阅读（一）连续复利的计算 31

复习题一 A组（基础层次） 32

复习题一 B组（提高层次） 33

第2章 导数、微分及其应用 34

2.1 导数的概念 34

2.1.1 变化率问题举例 34

2.1.2 导数的定义 36

2.1.3 根据定义求导数举例 37

2.1.4 可导与连续的关系 38

2.1.5 导数的意义 38

练习题2.1 40

2.2 导数的运算 40

2.2.1 基本初等函数的导数公式 40

2.2.2 导数的四则运算法则 41

2.2.3 复合函数的求导法则 42

2.2.4 隐函数的求导法则 43

练习题2.2 44

2.3 高阶导数 44

练习题2.3 45

2.4 导数的应用 46

2.4.1 中值定理 46

2.4.2 洛必达法则 47

2.4.3 函数的单调性 49

2.4.4 函数的极值 51

2.4.5 函数的最值及应用 53

练习题2.4 55

2.5 微分及其应用 55

2.5.1 微分的定义 55

2.5.2 微分的几何意义 56

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 57

2.5.4 微分在近似计算中的应用 58

练习题2.5 59

2.6 多元函数的偏导数与极值 59

2.6.1 多元函数的偏导数 59

2.6.2 多元函数的极值 62

练习题2.6 63

趣味阅读（二） 一年中哪一天白天最“长” 63

复习题二 A组（基础层次） 65

复习题二 B组（提高层次） 66

第3章 积分及其应用 常微分方程 67

3.1 不定积分 67

3.1.1 不定积分的概念和性质 67

3.1.2 换元积分法 71

3.1.3 分部积分法 75

练习题3.1 76

3.2 定积分及其应用 77

3.2.1 定积分的概念和性质 77

3.2.2 定积分的计算 82

3.2.3 定积分的应用 85

练习题3.2 90

3.3 反常积分 91

练习题3.3 93

3.4 常微分方程 93

3.4.1 微分方程的基本概念 93

3.4.2 可分离变量的微分方程 95

3.4.3 一阶线性微分方程 97

3.4.4 二阶常系数线性微分方程 98

练习题3.4 102

趣味阅读（三） 微积分与万有引力定律 102

复习题三 A组（基础层次） 104

复习题三 B组（提高层次） 105

第二篇 专业模块 109

第4章 线性代数及其应用 109

4.1 行列式与矩阵 109

4.1.1 行列式 109

4.1.2 矩阵的概念 114

4.1.3 矩阵的运算 116

练习题4.1 124

4.2 矩阵的初等变换 124

4.2.1 初等变换的概念 124

4.2.2 矩阵的秩 126

4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵 127

练习题4.2 130

4.3 线性方程组 131

4.3.1 线性方程组的概念 131

4.3.2 线性方程组的解法 133

4.3.3 线性方程组解的判定 135

练习题4.3 139

4.4 线性规划 139

4.4.1 线性规划问题的数学模型 140

4.4.2 线性规划问题的图解法 142

4.4.3 线性规划问题的计算机求解 143

练习题4.4 147

趣味阅读（四） 千年世界名题“百钱买百鸡”问题 149

复习题四 A组（基础层次） 152

复习题四 B组（提高层次） 153

第5章 概率统计 155

5.1 随机事件与概率 155

5.1.1 随机事件及其表达 155

5.1.2 随机事件的概率 158

练习题5.1 163

5.2 随机变量的分布及其数字特征 164

5.2.1 随机变量及其分布 164

5.2.2 随机变量的数字特征 167

练习题5.2 170

5.3 数理统计初步 170

5.3.1 样本、统计量与抽样分布 170

5.3.2 参数估计 171

5.3.3 假设检验 173

练习题5.3 174

趣味阅读（五）趣味无穷的概率 174

复习题五 A组（基础层次） 176

复习题五 B组（提高层次） 177

第6章 积分变换 178

6.1 傅里叶变换 178

6.1.1 傅里叶级数 178

6.1.2 傅里叶积分与傅里叶变换 180

6.1.3 单位脉冲函数（δ函数）及其傅里叶变换 183

6.1.4 傅里叶变换的性质 185

练习题6.1 188

6.2 拉普拉斯变换 188

6.2.1 拉普拉斯变换的基本概念 188

6.2.2 拉普拉斯变换的基本性质 190

6.2.3 拉普拉斯逆变换 194

6.2.4 拉普拉斯变换的应用举例 194

练习题6.2 196

趣味阅读（六） 刑事侦查中时间的推断 196

复习题六 A组（基础层次） 197

复习题六 B组（提高层次） 198

第7章 离散数学 200

7.1 集合与关系 200

7.1.1 有限集合的计数问题 200

7.1.2 集合的概念 201

7.1.3 集合的运算 202

7.1.4 关系的概念 204

7.1.5 关系的性质 205

练习题7.1 208

7.2 数理逻辑 209

7.2.1 苏格拉底三段论 209

7.2.2 命题逻辑 209

7.2.3 谓词逻辑 215

练习题7.2 218

7.3 图论 219

7.3.1 哥尼斯堡七桥问题 219

7.3.2 图的基本概念 219

7.3.3 图的矩阵表示 222

7.3.4 欧拉图 222

7.3.5 哈密顿图 223

7.3.6 树 224

练习题7.3 227

趣味阅读（七）悖论的魅力 227

复习题七 A组（基础层次） 229

复习题七 B组（提高层次） 229

第三篇 实践模块 233

第8章 MATLAB数学实验与数学建模 233

8.1 MATLAB入门 233

8.1.1 MATLAB简介 233

8.1.2 常量、变量与函数 234

8.1.3 一维数组（向量）的创建 236

练习题8.1 237

8.2 实验一 MATLAB基本运算 237

8.2.1 算术运算 237

8.2.2 代数式运算 238

8.2.3 解方程和方程组 240

练习题8.2 241

8.3 实验二 MATLAB图形处理 241

8.3.1 二维曲线的绘制 241

8.3.2 三维参量曲线的绘制 246

8.3.3 三维网格图的绘制 248

练习题8.3 249

8.4 实验三 微积分问题的MATLAB求解 249

8.4.1 求极限 249

8.4.2 求导数 250

8.4.3 求极值 251

8.4.4 求积分 252

练习题8.4 253

8.5 实验四 积分变换问题的MATLAB求解 254

8.5.1 常微分方程 254

8.5.2 拉普拉斯（Lapalace）变换 255

8.5.3 傅里叶（Fourier）变换 256

练习题8.5 256

8.6 实验五 线性代数问题的MATLAB求解 256

8.6.1 矩阵及其代数运算 256

8.6.2 逆矩阵与矩阵方程 259

8.6.3 线性方程组的求解 260

练习题8.6 263

8.7 实验六 概率统计问题的MATLAB求解 263

8.7.1 几种常用的概率分布 263

8.7.2 随机变量的数字特征——数学期望与方差 265

8.7.3 样本均值、方差和标准差 268

8.7.4 参数估计与区间估计 268

练习题8.7 269

8.8 数学建模初探 269

8.8.1 数学模型与数学建模 269

8.8.2 数学建模案例 270

练习题8.8 273

趣味阅读（八） 人、狗、鸡、米过河问题 273

复习题八 A组（基础层次） 274

复习题八 B组（提高层次） 275

附录Ⅰ 标准正态分布表 276

附录Ⅱ t分布表 277

附录Ⅲ x2分布表 279

习题参考答案 280

参考文献 295