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第1章 解析函数 1

1.1 复数与复变函数 1

1.1.1 复数及其代数运算 1

1.1.2 复变函数及其导数 7

1.2 解析函数基础理论 11

1.2.1 柯西-黎曼条件 11

1.2.2 初等解析函数 15

1.2.3 解析函数与调和函数 19

1.3 用MATLAB实现复数运算 21

1.3.1 复数矩阵的运算 21

1.3.2 复变函数的运算 27

1.4 共形映射 39

1.4.1 共形映射的概念 39

1.4.2 分式线性函数的映射 43

1.4.3 初等解析函数的映射 48

1.5 复变函数理论应用举例 53

1.5.1 电路分析中的相量 53

1.5.2 平面静电场的复势 57

思考与练习题 59

第2章 复变函数的积分 62

2.1 复积分的概念 62

2.1.1 复积分的性质和算法 62

2.1.2 柯西-古萨定理 65

2.1.3 原函数与不定积分 67

2.2 柯西公式 70

2.2.1 柯西积分公式 70

2.2.2 泊松公式 72

2.2.3 柯西导数公式 73

2.3 用MATLAB软件计算复积分 75

2.3.1 直接利用MATLAB软件计算 75

2.3.2 变形后利用MATLAB软件计算 77

思考与练习题 78

第3章 解析函数的级数表示 80

3.1 幂级数 80

3.1.1 基本概念 80

3.1.2 收敛半径的计算 82

3.2 泰勒级数 83

3.2.1 解析函数的泰勒级数表示 83

3.2.2 函数展开成泰勒级数 84

3.3 洛朗级数 86

3.3.1 洛朗级数的概念 86

3.3.2 函数展开成洛朗级数 89

思考与练习题 95

第4章 留数 96

4.1 留数定理 96

4.1.1 孤立奇点 96

4.1.2 留数和留数定理 99

4.1.3 计算留数的方法 102

4.2 留数在计算积分中的应用 109

4.2.1 计算复积分 109

4.2.2 计算实积分 111

4.3 对数留数与辐角原理 116

4.3.1 对数留数 116

4.3.2 辐角原理 117

4.3.3 路西定理 118

思考与练习题 120

第5章 特殊函数与常微分方程的幂级数解 121

5.1 用积分定义的特殊函数 121

5.1.1 Γ函数与B函数 121

5.1.2 脉冲函数和单位阶跃函数 125

5.2 斯图姆-刘维尔理论 127

5.2.1 斯图姆-刘维尔方程 127

5.2.2 边值条件和初始条件 128

5.2.3 本征值与本征函数 129

5.3 微分方程的幂级数解 130

5.3.1 求解微分方程的幂级数法 131

5.3.2 勒让德函数 131

5.3.3 贝塞尔函数 134

5.4 微分方程的MATLAB求解 136

5.4.1 微分方程的解析解 136

5.4.2 求解举例 139

思考与练习题 141

第6章 数理方程的分类和行波法 143

6.1 数理方程的创建和分类 143

6.1.1 创建数理方程举例 143

6.1.2 数理方程的分类 146

6.1.3 线性偏微分方程的叠加原理 147

6.2 定解问题及其适定性 148

6.2.1 边值条件和初始条件 148

6.2.2 定解问题的适定性 150

6.3 达朗贝尔公式 150

6.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 151

6.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 152

6.4 三维波动方程的泊松公式 155

6.4.1 三维波动方程的球对称解 155

6.4.2 球面平均法和泊松公式 156

思考与练习题 160

第7章 积分变换 163

7.1 傅里叶变换 163

7.1.1 傅里叶变换的定义 164

7.1.2 傅里叶变换的性质 165

7.2 拉普拉斯变换 168

7.2.1 拉普拉斯变换的定义 168

7.2.2 拉普拉斯变换的性质 169

7.3 用MATLAB实现积分变换 171

7.3.1 用积分指令 171

7.3.2 用积分变换的专用指令 173

7.4 积分变换的应用 178

7.4.1 傅里叶变换的应用 178

7.4.2 拉普拉斯变换的应用 186

思考与练习题 192

第8章 分离变量法 194

8.1 齐次偏微分方程 195

8.1.1 有界弦的波动问题 195

8.1.2 有界域内的输运问题 198

8.2 非齐次偏微分方程 201

8.2.1 本征函数法 201

8.2.2 圆形域上的定解问题 204

8.2.3 非齐次边值条件的处理 208

思考与练习题 212

附录A MATLAB入门 214

附录B 部分练习题参考答案或提示 247

参考文献 254