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第1篇 高等数学 1

第1章 函数、极限和连续 1

1.1 函数 1

一、 函数的基本概念 1

二、 函数的基本性质 4

三、 反函数、隐函数和复合函数 7

四、 分段函数 11

五、 初等函数 11

1.2 极限 13

一、 数列的极限 13

二、 函数的极限 16

三、 无穷小、无穷大和无穷小量阶的比较 22

1.3 函数的连续性与间断点 25

一、 函数的连续性 25

二、 间断点 27

三、 闭区间上连续函数的性质 28

习题一 30

第2章 导数与微分 33

2.1 导数与微分 33

一、 基本概念、性质和定理 33

二、 导数公式和运算法则 36

三、 反函数、复合函数和隐函数的求导法则 37

四、 微分 38

五、 高阶导数 39

六、 参数方程｛x=ψ(t) y=ψ(t)所确定的函数的导数 41

2.2 各种函数的导数的解法 42

一、 幂指函数的导数 42

二、 函数表达式为若干因子连乘积或商形式的函数的导数或微分的求法 43

三、 分段函数的导数 43

2.3 重要结论 44

习题二 45

第3章 微分中值定理和导数的应用 47

3.1 微分中值定理 47

一、 罗尔定理 47

二、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理 50

三、 泰勒定理 53

3.2 洛必达法则 54

一、 0/0未定式 54

二、 ∞/∞型未定式 55

三、 其他未定式∞-∞,0·∞,1∞,∞0,00的计算 57

3.3 导数的应用 58

一、 过定点的曲线的切线和法线方程 58

二、 函数单调性的判别 59

三、 函数的极值和最值 60

四、 曲线的凹凸性和拐点 62

五、 曲线的渐近线 63

六、 函数作图及函数图形与其导函数图形的关系 64

七、 曲率 65

习题三 67

第4章 不定积分 70

4.1 不定积分的基本概念和性质 70

一、 原函数和不定积分的概念 70

二、 基本积分公式 72

三、 不定积分的基本运算法则 73

4.2 不定积分的计算方法 74

一、 不定积分的换元积分法 74

二、 不定积分的分部积分法 78

4.3 各种函数的不定积分 80

一、 有理函数的不定积分 80

二、 三角函数有理式R(sin x,cos x)dx的不定积分 81

三、 含无理式的不定积分 84

四、 分段函数的不定积分 86

五、 复合函数的不定积分 87

习题四 87

第5章 定积分和反常积分 90

5.1 定积分的概念和性质 90

一、 定积分的概念 90

二、 定积分的性质 91

5.2 定积分的计算 94

一、 微积分基本公式 94

二、 定积分的换元法和分部积分法 96

三、 定积分计算中的常用公式 98

四、 分段函数的定积分 100

五、 杂例 101

5.3 反常积分及计算 102

一、 无穷区间上的反常积分 102

二、 无界函数的反常积分（或瑕积分） 103

三、 计算反常积分的步骤 104

5.4 定积分的应用 105

一、 微元法 105

二、 平面图形的面积 106

三、 旋转体的体积 107

四、 旋转体的侧面积 108

五、 已知截面面积的立体的体积 109

六、 平面曲线的弧长 109

七、 一元积分在物理上的应用 110

习题五 111

第6章 向量代数与空间解析几何 114

6.1 向量代数 114

一、 向量概念及坐标表示 114

二、 向量的运算 115

三、 两个向量的关系 117

6.2 空间平面方程和空间直线方程 118

一、 平面方程的几种形式 118

二、 空间直线方程的几种形式 119

三、 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系 119

四、 平面方程和直线方程的计算 121

6.3 曲面方程与空间曲线方程 125

一、 曲面方程基本概念 125

二、 空间曲线方程 125

三、 柱面 125

四、 投影曲线 127

五、 旋转曲面 129

六、 二次曲面 130

习题六 132

第7章 多元函数微分学及应用 135

7.1 多元函数、极限和连续 135

一、 多元函数的概念 135

二、 二元函数的极限和连续 136

7.2 二元函数偏导数、全微分 138

一、 偏导数 138

二、 全微分 140

7.3 多元复合函数和隐函数微分法 144

一、 多元复合函数微分法 144

二、 多元隐函数微分法 148

7.4 多元函数的极值、条件极值和最大值、最小值 150

一、 基本概念和定理 150

二、 极值的求法 151

7.5 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线（数二不作要求） 154

一、 空间曲线的切线和法平面 154

二、 曲面的切平面和法线 154

习题七 155

第8章 重积分 158

8.1 二重积分 158

一、 二重积分的概念 158

二、 二重积分的基本性质 159

三、 二重积分的计算 161

四、 分段函数的二重积分 167

8.2 三重积分（数二不作要求） 169

一、 概念 169

二、 直角坐标系下三重积分的计算 169

三、 柱坐标系下三重积分的计算 171

四、 球坐标系下三重积分的计算 172

五、 利用对称性或轮换对称性化简三重积分 173

8.3 重积分的应用 174

一、 求体积 174

二、 求曲面面积 176

三、 求薄片或形体的质量、质心的坐标、转动惯量、引力 176

习题八 177

第9章 曲线积分与曲面积分 180

9.1 曲线积分 180

一、 对弧长的曲线积分 180

二、 对坐标的曲线积分 184

三、 两种曲线积分的关系 187

四、 格林公式及其应用 188

9.2 曲面积分 191

一、 对面积的曲面积分 191

二、 对坐标的曲面积分∫∫∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy 193

三、 两种曲面积分的关系 196

四、 高斯定理及其应用 197

9.3 场论初步 199

一、 方向导数 199

二、 梯度 199

三、 散度 200

四、 旋度 200

五、 通量 200

习题九 201

第10章 无穷级数 204

10.1 数项级数 204

一、 级数的概念 204

二、 正项级数收敛性的判别 207

三、 交错级数∞∑n=1(-1)n-1un,(un＞0)与莱布尼茨定理 209

四、 任意项级数∞∑n=1un（un可正、可负、可0）的绝对收敛和条件收敛 211

10.2 幂级数 213

一、 函数项级数 213

二、 幂级数 214

10.3 傅里叶级数 220

一、 基本概念和定理 220

二、 傅里叶级数的展开 221

习题十 222

第11章 常微分方程 225

11.1 微分方程的基本概念 225

一、 微分方程 225

二、 常微分方程的解 225

11.2 一阶微分方程 226

一、 可分离变量的微分方程 226

二、 齐次方程 226

三、 一阶线性微分方程 229

四、 伯努利方程（数二不作要求） 231

五、 全微分方程（数二不作要求） 231

11.3 二阶线性微分方程 233

一、 线性微分方程解的性质和结构定理 233

二、 可降阶的微分方程 234

三、 常系数齐次和非齐次线性微分方程 235

四、 欧拉方程（数二不作要求） 240

习题十一 241

第2篇 线性代数 243

第1章 行列式 243

1.1 行列式的概念 243

一、 排列与逆序 243

二、n阶行列式定义 244

三、 特殊的行列式 244

1.2 行列式的性质和定理 245

一、 行列式的性质 245

二、 行列式按行（列）展开定理 246

1.3 行列式的计算 247

1.4 克莱姆法则 251

习题一 253

第2章 矩阵 256

2.1 矩阵的概念 256

一、 矩阵的概念和运算 256

二、 方阵的行列式 259

2.2 逆矩阵和伴随矩阵 259

一、 逆矩阵 259

二、 伴随矩阵 260

2.3 分块矩阵 261

2.4 初等变换 263

一、 初等变换 263

二、 初等矩阵 263

三、 矩阵的秩 264

习题二 267

第3章 向量 271

3.1 向量 271

一、 基本概念和运算法则 271

二、 线性组合 272

三、 线性相关和线性无关 272

四、 向量组的等价 274

五、 向量组相关性的重要结论 274

3.2 向量组的秩 275

一、 极大线性无关组 275

二、 向量组的秩 275

3.3 向量空间 276

一、 向量空间的概念 276

二、 正交矩阵（数二不作要求） 278

习题三 280

第4章 线性方程组 283

4.1 高斯消元法 283

一、 基本概念 283

二、 高斯消元法（用初等变换求线性方程组的解） 283

4.2 线性方程组解的结构、性质和判定 286

一、 齐次线性方程组Am×nx=0的基础解系 286

二、 齐次线性方程组Am×nx=0的解判定定理、性质和结构定理 288

三、 非齐次线性方程组Am×nx=b的解的判定定理、性质和结构定理 289

四、 两个线性方程组解之间的关系 291

4.3 线性方程组在向量中的应用 293

一、 向量的线性相关性 293

二、 向量组的线性表示的问题 294

习题四 296

第5章 特征值与特征向量 299

5.1 特征值与特征向量 299

一、 基本概念 299

二、 基本性质 299

三、 计算特征值与特征向量 300

5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 302

一、 基本概念和性质 302

二、 矩阵的相似对角化的步骤 302

三、 实对称矩阵的相似对角化 304

习题五 305

第6章 二次型 309

6.1 基本概念和性质 309

一、 二次型的定义 309

二、 合同变换和合同矩阵 310

三、 二次型的标准形与规范形 311

四、 矩阵的等价、相似和合同的结论 316

6.2 正定二次型 317

习题六 319

第3篇 概率论与数理统计 322

第1章 随机事件与概率 322

1.1 基本概念与性质 322

一、 基本概念 322

二、 事件的概率和性质 324

1.2 古典概率 326

一、 古典概型 326

二、 几何概型 328

1.3 条件概率和三个概率计算公式 329

一、 条件概率 329

二、 三个概率计算公式 330

1.4 事件的独立性和贝努里概型 332

一、 事件的独立性 332

二、 贝努里（Bernoulli）概型 334

习题一 335

第2章 随机变量及其分布 338

2.1 基本概念和性质 338

一、 随机变量和分布函数 338

二、 离散型随机变量 339

三、 连续型随机变量 343

2.2 随机变量函数的分布 345

一、 离散型随机变量函数的分布 345

二、 连续型随机变量函数的分布 347

习题二 348

第3章 多维随机变量及其分布 352

3.1 基本概念 352

一、 二维随机变量的分布 352

二、 边缘分布 353

3.2 二维随机变量 353

一、 二维离散型随机变量 353

二、 二维连续型随机变量 357

三、 相互独立的随机变量 360

3.3 随机变量的函数分布Z=g(X,Y) 362

习题三 366

第4章 随机变量的数字特征 372

4.1 一维随机变量的数字特征 372

一、 数学期望和方差 372

二、 重要结论和公式 374

三、 由随机试验给出的随机变量的数字特征的计算 375

4.2 二维（多维）随机变量的数字特征 376

一、 两个随机变量函数的数学期望 376

二、 协方差、相关系数和矩 376

三、 二维随机变量及其函数的数字特征的计算 377

四、 利用（0-1）分布求多维随机变量数字特征 384

习题四 385

第5章 大数定律与中心极限定理 388

5.1 大数定律 388

一、 切比雪夫不等式 388

二、 大数定律 389

5.2 中心极限定理 390

一、 列维一林德伯格定理 390

二、 棣莫佛一拉普拉斯定理 391

习题五 393

第6章 样本与抽样分布 395

6.1 数理统计的基本概念和结论 395

一、 总体与样本 395

二、 统计量 396

三、 分位数 397

6.2 三个常用统计量分布：X2分布，t分布和F分布 397

一、X2分布 397

二、t分布 397

三、F分布 398

四、 正态总体的抽样分布 398

五、 统计量的数字特征 400

习题六 402

第7章 参数估计与假设检验 404

7.1 参数的点估计 404

一、 基本概念 404

二、 矩估计法 404

三、 最大似然估计法 405

四、 估计量的性质 407

7.2 参数的区间估计 409

一、 置信区间 409

二、 正态总体的区间估计 409

7.3 假设检验 413

一、 基本概念 413

二、 常见正态总体的假设检验 414

三、 两类错误 418

习题七 418