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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、集合、区间与邻域 1

二、函数的概念 2

三、函数的几种特性 4

四、反函数与复合函数 5

五、初等函数 6

习题1-1 9

第二节 极限 9

一、数列的极限 10

二、函数的极限 11

三、函数极限的性质 12

习题1-2 13

第三节 极限的运算 13

一、极限的运算法则 13

二、复合函数的极限运算法则 15

三、极限的夹逼准则 15

四、两个重要极限 16

习题1-3 17

第四节 无穷小与无穷大 18

一、无穷小 18

二、无穷大 20

三、无穷小与无穷大的关系 20

四、无穷小的比较 20

习题1-4 21

第五节 函数的连续性与间断点 22

一、函数的连续性 22

二、函数的间断点 24

习题1-5 25

第六节 初等函数的连续性 26

一、连续函数的四则运算 26

二、复合函数与反函数的连续性 26

三、初等函数的连续性 27

四、闭区间上连续函数的性质 28

习题1-6 29

第二章 导数与微分 30

第一节 导数的概念 30

一、引例 30

二、导数的定义 31

三、求导数举例 31

四、左、右导数 33

五、导数的几何意义 34

六、函数的可导性与连续性的关系 34

习题2-1 34

第二节 函数的求导法则和基本公式 35

一、函数求导的四则运算法则 35

二、反函数的导数 36

三、复合函数的求导法则 37

习题2-2 39

第三节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 39

一、隐函数的导数 39

二、由参数方程确定的函数的导数 41

习题2-3 42

第四节 高阶导数 42

一、高阶导数 43

二、参数方程的二阶导数 44

习题2-4 44

第五节 函数的微分及其应用 45

一、微分的概念 45

二、微分的几何意义 46

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 47

四、微分在近似计算中的应用 48

习题2-5 49

第三章 导数应用 50

第一节 微分中值定理 50

一、罗尔定理 50

二、拉格朗日中值定理 50

三、两个主要推论 51

习题3-1 51

第二节 洛必达法则 52

一、“0/0”型未定式 52

二、“∞/∞”型未定式 53

三、其他类型未定式 53

习题3-2 55

第三节 函数单调性的判定法 55

习题3-3 57

第四节 函数的极值与最值 57

一、函数的极值 57

二、函数的最值 59

习题3-4 60

第五节 函数图形的描绘 61

一、曲线的凹凸性与拐点 61

二、曲线的渐近线 63

三、函数图形的描绘 64

习题3-5 65

第四章 不定积分 67

第一节 不定积分的概念与性质 67

一、原函数与不定积分的概念 67

二、基本积分公式 69

三、不定积分的性质 70

习题4-1 71

第二节 不定积分的换元积分法 73

一、第一类换元法（凑微分法） 73

二、第二类换元法 76

三、补充的积分公式 78

习题4-2 79

第三节 不定积分的分部积分法 81

习题4-3 84

第四节 简单有理函数的积分 85

习题4-4 87

第五节 积分表的使用方法 87

一、直接查表求积分 87

二、先进行变量代换，再查表 87

三、用递推公式 88

习题4-5 88

第五章 定积分及其应用 89

第一节 定积分的概念与性质 89

一、定积分的实际背景 89

二、定积分的概念 91

三、定积分的几何意义 92

四、定积分的性质 92

习题5-1 94

第二节 微积分基本公式 95

一、变上限的定积分 95

二、牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式 97

习题5-2 98

第三节 定积分的积分方法 99

一、定积分的换元积分法 100

二、定积分的分部积分法 102

习题5-3 103

第四节 广义积分 105

一、无穷区间的广义积分 105

二、无界函数的广义积分 106

习题5-4 108

第五节 定积分的几何应用 108

一、定积分应用的微元法 108

二、计算平面图形的面积 109

三、计算立体的体积 112

四、计算平面曲线的弧长 114

习题5-5 114

第六章 常微分方程 116

第一节 微分方程的基本概念 116

一、引例 116

二、微分方程的基本概念 117

习题6-1 117

第二节 一阶微分方程 118

一、可分离变量的一阶微分方程 118

二、一阶线性微分方程 119

习题6-2 121

第三节 可降阶的高阶微分方程 122

一、y(n)=f（x）型的微分方程 122

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 122

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 123

习题6-3 124

第四节 二阶常系数线性微分方程 124

一、二阶常系数线性微分方程解的性质 124

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 125

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 126

习题6-4 128

第七章 空间解析几何与向量代数 129

第一节 空间直角坐标系 129

一、空间直角坐标系简介 129

二、空间两点间的距离公式 130

习题7-1 131

第二节 向量及其线性运算 131

一、向量的概念 131

二、向量的加、减法 132

三、数与向量的乘法 133

习题7-2 133

第三节 向量的坐标 134

一、向量的坐标 134

二、向量的线性运算的坐标表示 134

三、向量的模与方向余弦 135

习题7-3 136

第四节 向量的数量积与向量积 136

一、向量的数量积 136

二、向量的向量积 138

习题7-4 139

第五节 平面及其方程 140

一、平面的点法式方程 140

二、平面的一般方程 141

三、两平面的夹角及两平面平行与垂直的条件 143

习题7-5 144

第六节 空间直线及其方程 145

一、直线的点向式方程 145

二、直线的参数方程 146

三、直线的一般方程 146

四、两直线的夹角及两直线平行与垂直的条件 147

习题7-6 148

第七节 常见曲面的方程及图形 149

一、曲面方程的概念 149

二、母线平行于坐标轴的柱面方程 150

三、旋转曲面 151

四、常见的二次曲面及其方程 151

习题7-7 153

第八章 多元函数微积分 154

第一节 多元函数的概念、极限与连续性 154

一、多元函数的概念 154

二、二元函数的极限 155

三、二元函数的连续性 156

习题8-1 156

第二节 偏导数 157

一、偏导数的概念及求法 157

二、高阶偏导数 158

习题8-2 159

第三节 全微分 159

一、全微分的概念 159

二、全微分在近似计算中的应用 160

习题8-3 161

第四节 多元复合函数与隐函数微分法 162

一、复合函数微分法 162

二、隐函数的微分法 164

习题8-4 165

第五节 二元函数的极值 165

一、二元函数的极值 165

二、二元函数最大值与最小值 166

三、条件极值 167

习题8-5 169

第六节 二重积分的概念与性质 169

一、两个实例 169

二、二重积分的定义 170

三、二重积分的性质 171

习题8-6 171

第七节 二重积分的计算方法及其应用 172

一、直角坐标系下二重积分的计算方法 172

二、极坐标系下二重积分的计算方法 174

三、计算立体的体积和曲面的面积 176

四、计算平面薄片的质心 177

五、计算平面薄片的转动惯量 179

习题8-7 179

第九章 无穷级数 181

第一节 常数项级数的概念和性质 181

一、常数项级数的概念 181

二、常数项级数的基本性质和级数收敛的必要条件 183

习题9-1 185

第二节 常数项级数的审敛法 185

一、正项级数及其审敛法 185

二、交错级数及其审敛法 189

三、绝对收敛与条件收敛 189

习题9-2 190

第三节 函数项级数与幂级数 191

一、函数项级数 191

二、幂级数及其收敛性 192

三、幂级数的基本性质 194

习题9-3 195

第四节 函数展开成幂级数 196

一、泰勒级数 196

二、将函数展开成幂级数 197

习题9-4 201

第五节 幂级数展开式的应用 201

一、值的近似计算 202

二、求极限 203

三、求不定积分 203

四、微分方程的幂级数解法 203

习题9-5 203

附录一 积分表和常用数学公式 205

一、积分表 205

二、初等数学常用公式 213

三、初等数学常见曲线 215

附录二 习题答案 222

第一章 222

第二章 224

第三章 226

第四章 228

第五章 233

第六章 234

第七章 236

第八章 239

第九章 241

参考文献 244