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第8章 空间解析几何简介 1

8.1空间直角坐标系 1

一、建立空间直角坐标系 1

二、空间中点的坐标 1

三、两点间的距离公式 2

练习题8—1 3

8.2矢量的线性运算及坐标 3

一、矢量的概念 3

二、矢量的线性运算 3

练习题8—2 8

8.3数量积和矢量积 9

一、矢量的数量积 9

二、矢量的矢量积 10

练习题8—3 11

8.4平面方程 12

一、平面的点法式方程 12

二、平面的一般式方程 14

三、两平面的夹角及点到平面的距离 15

练习题8—4 16

8.5空间直线方程 16

一、空间直线的标准方程与参数方程 16

二、空间直线的一般式方程 17

三、直线与直线、直线与平面的夹角 18

练习题8—5 20

8.6曲面和曲线 21

一、曲面的方程 21

二、柱面、旋转曲面 22

三、二次曲面 24

四、空间曲线方程 27

五、二次曲线与二次曲面的分类简介 28

练习题8—6 34

8.7应用Matlab作空间图形 34

一、Matlab命令 35

二、实验内容 36

第9章 多元函数微分学 39

9.1多元函数的基本概念 39

一、邻域、区域与多元函数的概念 39

二、多元函数的极限 41

三、多元函数的连续性 42

练习题9—1 43

9.2偏导数 44

一、偏导数的概念及其计算法 44

二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系 45

三、高阶偏导数 46

练习题9—2 47

9.3全微分 47

一、全微分的定义 47

二、可微分的必要条件和充分条件 48

三、近似计算 50

练习题9—3 50

9.4多元复合函数的求导法则 51

一、复合函数求偏导的链式法则 51

二、一阶全微分形式不变性 53

练习题9—4 54

9.5多元函数的隐函数求导法 54

一、由一个方程所确定的隐函数的偏导数 54

二、方程组的情形 56

练习题9—5 57

9.6多元函数的极值 57

一、二元函数的极值与最值 58

二、条件极值和拉格朗日乘数法 60

三、多元函数微分学在经济学中的应用 62

练习题9—6 64

9.7多元函数微分学的几何应用 64

一、一元向量值函数及其导数 64

二、空间曲线的切线与法平面 67

三、曲面的切平面与法线 70

练习题9—7 72

9.8方向导数与梯度 72

一、方向导数 72

二、梯度 74

练习题9—8 77

9.9应用Matlab求解多元函数的极值 77

一、实验目的 77

二、实验准备 77

三、实验示例分析 78

总练习题九 81

第10章 重积分 83

10.1二重积分的概念与性质 83

一、二重积分的概念 83

二、二重积分的性质 85

练习题10—1 86

10.2在直角坐标系下计算二重积分 87

练习题10—2 91

10.3在极坐标系下计算二重积分及反常二重积分 92

一、在极坐标系下计算二重积分 92

二、无界域上的反常二重积分 94

三、二重积分在经济学中的应用——计算城市总税收收入 95

练习题10—3 96

10.4三重积分 97

一、三重积分的概念 97

二、三重积分的计算 97

练习题10—4 101

10.5重积分的应用 101

一、曲面的面积 102

二、质心 104

三、转动惯量 106

四、引力 107

练习题10—5 108

10.6 Matlab在重积分方面的应用 108

一、实验目的 108

二、实验使用的Matlab函数 109

三、实验实例分析 109

总练习题十 112

第11章 曲线积分与曲面积分 114

11.1第一型曲线积分 114

一、第一型曲线积分的概念与性质 114

二、第一型曲线积分的计算 116

三、第一型曲线积分的应用 118

练习题11—1 118

11.2第二型曲线积分 119

一、第二型曲线积分的概念与性质 119

二、第二型曲线积分的计算 120

练习题11—2 124

11.3格林公式和平面曲线积分与路径无关的问题 125

一、格林（Green）公式 125

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 128

三、二元函数的全微分求积 130

练习题11—3 132

11.4第一型曲面积分 133

一、第一型曲面积分的概念 133

二、第一型曲面积分的计算 134

练习题11—4 136

11.5第二型曲面积分 137

一、对坐标的曲面积分（即第二型曲面积分）的定义 137

二、第二型曲面积分的计算 138

练习题11—5 141

11.6高斯（Gauss）公式 141

一、高斯公式 142

二、通量与散度 144

练习题11—6 145

11.7斯托克斯（Stokes）公式 146

练习题11—7 147

11.8应用Matlab求解曲线积分及曲面积分 148

一、实验目的 148

二、实验使用的Matlab函数 148

三、实验实例分析 149

总练习题十一 151

第12章 无穷级数 153

12.1常数项级数的概念及性质 153

一、常数项级数的概念 153

二、常数项级数的性质与级数收敛的必要条件 156

三、级数收敛的必要条件 158

练习题12—1 159

12.2正项级数判敛 160

一、正项级数收敛的充要条件 160

二、比较判别法 161

三、比值判别法 164

四、根值判别法 166

练习题12—2 167

12.3变号级数判敛 167

一、交错级数的莱布尼茨判别法 167

二、绝对收敛与条件收敛 169

三、绝对收敛级数的两个性质 172

练习题12—3 173

12.4幂级数 173

一、函数项级数的一般概念 173

二、幂级数及其收敛区间 175

三、幂级数的运算性质及和函数 178

练习题12—4 183

12.5函数展开成幂级数 184

一、泰勒（Taylor）级数 184

二、函数展开成幂级数 186

练习题12—5 192

12.6幂级数的应用 192

一、作近似计算 192

二、用幂级数表示函数 194

三、用幂级数解微分方程 194

四、欧拉（Euler）公式 197

五、银行存款问题 198

练习题12—6 199

12.7傅里叶（Fourier）级数 200

一、三角级数及三角函数系的正交性 200

二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 201

三、正弦级数与余弦级数 207

练习题12—7 210

12.8周期为2l的周期函数的傅里叶级数 210

练习题12—8 213

12.9 Matlab在级数中的应用 214

一、实验目的 214

二、基本操作命令 214

三、实验实例分析 214

总练习题十二 215

参考答案或提示 218

附录：2010——2012年数学（一）考研题选 233

2012年考研试题 233

2011年考研试题 234

2010年考研试题 235

考研试题参考答案 237

2012年考研试题参考答案 237

2011年考研试题参考答案 241

2010年考研试题参考答案 246

参考文献 250