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第1章 整数的可除性 1

1.1 整除的概念与带余除法 1

1.1.1 整除及其性质 1

1.1.2 素数 4

1.1.3 带余除法 5

1.2 整数的表示 7

1.3 最大公因数与辗转相除法 8

1.3.1 最大公因数 8

1.3.2 辗转相除法 13

1.3.3 求（a，b）的算法 14

1.3.4 （a，b）与a、b的关系 17

1.3.5 其他性质 22

1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 25

1.4.1 整除和最大公因数的其他性质 25

1.4.2 最小公倍数及其性质 26

1.5 算术基本定理 28

习题1 32

第2章 数论函数 38

2.1 数论函数 38

2.2 函数「x」、「x」、［x] 38

2.2.1 下整数函数「x」 38

2.2.2 上整数函数「x］ 39

2.2.3 四舍五入函数［x］ 39

2.3 函数potpn 40

2.4 Euler函数？（n） 43

2.5 墨比乌斯函数μ（n） 50

2.5.1 墨比乌斯函数 50

2.5.2 墨比乌斯反演公式 53

2.6 素数个数函数π（n） 56

2.7 数论函数的狄利克雷乘积 57

2.8 积性函数 60

2.8.1 积性函数的定义 61

2.8.2 积性函数的性质 62

习题2 65

第3章 同余及其运算 71

3.1 同余的概念及基本性质 71

3.2 剩余类及完全剩余系 77

3.2.1 剩余类和完全剩余系 77

3.2.2 剩余类的性质 79

3.3 既约剩余系 80

3.3.1 既约剩余系 80

3.3.2 整数a模m的逆 84

3.4 欧拉定理和费马小定理 87

3.4.1 欧拉定理 87

3.4.2 费马小定理 89

3.5 模重复平方计算法 91

3.5.1 算法原理 91

3.5.2 模重复平方计算法 92

3.6 一次不定方程 95

3.6.1 二元一次（不定）方程 95

3.6.2 求特解的方法 99

3.6.3 s元一次不定方程 103

3.6.4 （s元）一次不定方程组 104

3.7 矩阵的同余运算 107

3.7.1 矩阵及其线性运算 107

3.7.2 矩阵乘法 109

3.7.3 可逆矩阵 111

3.8 同余的应用 113

3.8.1 RSA公钥密码算法 113

3.8.2 背包公钥密码算法 114

3.8.3 希尔密码算法 116

3.8.4 随机数的Lehmer生成算法 118

3.8.5 随机数的BBS生成算法 120

习题3 121

第4章 同余方程 126

4.1 基本概念 126

4.2 一次同余方程 134

4.3 中国剩余定理 140

4.4 高次同余方程的解数及解法 152

4.4.1 解数 152

4.4.2 特殊情形的解法 154

4.4.3 一般情形的解法 161

4.5 素数模的同余方程 165

4.5.1 同余方程的化简 165

4.5.2 解数的判断 168

4.6 同余方程的应用 170

4.6.1 密钥分存 170

4.6.2 数据库加密方案 173

4.6.3 BBS流密码算法 174

习题4 177

第5章 二次同余方程与平方剩余 182

5.1 一般二次同余方程 182

5.1.1 二次同余方程的化简 182

5.1.2 平方剩余 183

5.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 185

5.2.1 平方剩余的判断条件 185

5.2.2 平方剩余的个数 187

5.3 勒让德符号 188

5.4 雅可比符号 198

5.5 模p平方根 205

5.6 模数为合数的情形 209

5.6.1 p为奇素数 210

5.6.2 p=2 210

5.7 解同余方程小结 215

习题5 215

第6章 原根与离散对数 221

6.1 整数的阶及其性质 221

6.1.1 整数的阶和原根 221

6.1.2 阶的性质与计算方法 222

6.2 原根的存在性与计算方法 235

6.3 离散对数 244

6.4 离散对数的计算 247

6.4.1 Pohlid-Hellman算法 247

6.4.2 Shank算法 252

6.5 二项同余方程与n次剩余 254

6.6 原根与离散对数的应用 257

6.6.1 Diffie-Hellman密钥交换算法 257

6.6.2 ElGamal加密算法 258

6.6.3 改进的随机数生成算法 261

6.6.4 一种快速傅里叶变换算法 263

6.6.5 同余方程的求解 264

6.7 单向函数 266

习题6 267

第7章 连分数 271

7.1 连分数 271

7.1.1 连分数的概念 271

7.1.2 连分数性质与渐进连分数的计算 274

7.2 简单连分数 279

7.2.1 实数的简单连分数的生成 279

7.2.2 有理分数的连分数表示 281

7.3 循环连分数 283

习题7 284

第8章 素性测试和整数分解 287

8.1 素性测试的精确方法 287

8.2 伪素数与Fcrmat测试算法 289

8.3 Euler伪素数与Solovay-Stassen测试算法 292

8.3.1 Euler伪素数 292

8.3.2 Solovay-Stassen测试算法 293

8.4 强伪素数与Miller-Rabin测试算法 293

8.4.1 强伪素数 295

8.4.2 Miller-Rabin测试算法 295

8.5 正整数的分解 297

8.5.1 Fermat方法 298

8.5.2 Fermat方法的拓展 299

8.5.3 Legcndre方法 299

8.5.4 Pollard方法 300

8.5.5 Kraitchik方法 301

8.5.6 B基数法——Brillhart-Morrison法 303

8.5.7 连分数法 306

8.5.8 二次筛法 308

8.5.9 p—1法 310

习题8 312

第9章 有限域 314

9.1 集合及其运算 314

9.1.1 集合 314

9.1.2 映射 315

9.1.3 代数运算 317

9.1.4 同构映射 317

9.2 群 319

9.3 环 323

9.3.1 环 323

9.3.2 多项式环 325

9.4 域 329

9.4.1 域的概念 329

9.4.2 域的特征和同构 332

9.4.3 有限域及其结构 335

9.4.4 有限域的构造 337

9.4.5 GF（2n）域上的计算 341

习题9 343

附录A 素数表与最小正原根表（1200以内） 345

附录B ？的连分数 346

附录C F2上的既约多项式（n≤10） 348

附录D F2上的本原多项式 350

索引 352

参考文献 361