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第1章 三类抽象空间的结构及性质 1

1.1 距离空间的结构及性质 1

1.1.1 距离空间的定义与例子 1

1.1.2 距离空间中的点集构造 4

1.1.3 稠密与可分 6

1.1.4 完备性与完备化 8

1.1.5 稀疏与纲定理 11

1.1.6 列紧与紧 13

1.1.7 距离空间基础训练与拓展 16

1.2 赋范线性空间的结构及性质 19

1.2.1 赋范线性空间与Banach空间的定义与例子 19

1.2.2 赋范线性空间中的级数与基 25

1.2.3 子空间、乘积空间与商空间 27

1.2.4 线性拓扑同构与范数等价 29

1.2.5 有限维赋范线性空间的特性 31

1.2.6 赋范线性空间基础训练与拓展 33

1.3 内积空间的结构及性质 36

1.3.1 内积空间与Hilbert空间 36

1.3.2 正交与正交分解 41

1.3.3 正交系与Fourier级数 43

1.3.4 可分Hilbert空间的模型 48

1.3.5 内积空间基础训练与拓展 49

第2章 有界线性算子与有界线性泛函 53

2.1 有界线性算子 53

2.1.1 线性算子有界与连续 53

2.1.2 有界线性算子范数与有界线性算子空间 55

2.1.3 有界线性算子基本定理 60

2.1.4 有界线性算子基础训练与拓展 67

2.2 有界线性泛函 71

2.2.1 有界线性泛函表示 71

2.2.2 有界线性泛函延拓 75

2.2.3 几何形式的Hahn-Banach定理 79

2.2.4 各种收敛性 81

2.2.5 共轭算子与值域定理 84

2.2.6 有界线性泛函基础训练与拓展 87

2.3 Banach代数与谱理论入门 89

2.3.1 Banach代数可逆元 90

2.3.2 Banach代数中元素的谱 92

2.3.3 有界线性算子的谱点分类 94

2.3.4 紧线性算子谱理论初步 97

2.3.5 Banach代数与谱理论入门基础训练及拓展 103

第3章 凸分析初步 106

3.1 凸集与凸锥 106

3.1.1 凸集理论初步 106

3.1.2 半范数与Minkowski泛函 110

3.1.3 凸锥理论初步 113

3.1.4 凸集与凸锥基础训练及拓展 115

3.2 局部凸拓扑线性空间 115

3.2.1 拓扑线性空间 115

3.2.2 局部凸空间 120

3.2.3 凸集分离定理 122

3.2.4 凸集的端点 125

3.2.5 弱拓扑与弱＊拓扑 127

3.2.6 自反空间 129

3.2.7 局部凸拓扑线性空间基础训练与拓展 132

3.3 凸范数与凸函数 134

3.3.1 严格凸与一致凸范数 134

3.3.2 凸函数及其基本性质 141

3.3.3 凸函数的共轭函数 144

3.3.4 凸范数与凸函数基础训练及拓展 146

第4章 抽象分析初步 148

4.1 复测度与复积分 148

4.1.1 正测度、实测度与复测度 148

4.1.2 复函数关于正测度的积分 151

4.1.3 测度的绝对连续性及Radon-Nikodym定理 154

4.1.4 复测度的极表示及Hahn分解定理 157

4.1.5 Lp上有界线性泛函表示 159

4.1.6 复测度与复积分基础训练及拓展 160

4.2 Bochner积分与向量测度 162

4.2.1 向量值可测函数 162

4.2.2 Bochner积分 164

4.2.3 向量测度 166

4.2.4 Radon-Nikodym性质与Riesz表示 171

4.2.5 Bochner积分与向量测度基础训练及拓展 176

4.3 自伴算子与谱积分 180

4.3.1 自伴算子 180

4.3.2 正算子 185

4.3.3 投影算子 187

4.3.4 自伴算子产生的谱系及谱分解定理 191

4.3.5 谱测度与谱积分 194

4.3.6 自伴算子与谱积分基础训练及拓展 199

第5章 非线性分析初步 202

5.1 Banach空间上的抽象微分学初步 202

5.1.1 F微分与G微分 202

5.1.2 n线性算子与高阶导数 211

5.1.3 无限维空间上的Taylor公式 216

5.1.4 抽象微分学基础训练与拓展 217

5.2 非线性映射不动点 218

5.2.1 连续映射与同胚 218

5.2.2 压缩映射原理 220

5.2.3 压缩映射原理在方程求解中的应用 223

5.2.4 紧映射与Schauder不动点定理 227

5.2.5 不动点定理综合应用 230

5.2.6 非线性映射不动点基础训练与拓展 233

5.3 泛函极值初步 235

5.3.1 极值概念与可微性条件 235

5.3.2 条件极值 240

5.3.3 泛函极值存在的下半弱连续条件 243

5.3.4 最速下降法与泛函极值存在的（PS）条件 246

5.3.5 泛函极值初步基础训练与拓展 249

参考文献 251