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微积分的发展简史 1

1 基础知识 3

1.1 实数与区间 3

练习题1.1 7

［数学知识与数学文化赏析］邻域概念的再认识 7

1.2 函数概念与性质 8

思考题1.2 11

练习题1.2 12

［数学知识与数学文化赏析］函数无界的意境赏析 12

1.3 初等函数 13

思考题1.3 19

练习题1.3 19

［数学知识与数学文化赏析］简谈圆周率π 19

1.4 建立函数关系式 22

练习题1.4 24

［数学知识与数学文化赏析］数学建模简介 24

习题1（A） 26

习题1（B） 27

2．极限与连续 28

2.1 极限的定义 28

思考题2.1 34

练习题2.1 35

［数学知识与数学文化赏析］割圆术中的极限思想 35

2.2 极限的运算 36

练习题2.2 42

［数学知识与数学文化赏析］连续复利与e 43

2.3 函数的连续性 44

思考题2.3 47

练习题2.3 48

［数学知识与数学文化赏析］无穷小量引发第二次数学危机 48

习题2（A） 49

习题2（B） 51

3．导数与微分 52

3.1 导数的概念 52

思考题3.1 58

练习题3.1 58

［数学知识与数学文化赏析］可导与连续的关系 58

3.2 导数的运算法则 59

练习题3.2 63

［数学知识与数学文化赏析］复合函数求导法则赏析 64

3.3 高阶导数 64

练习题3.3 66

［数学知识与数学文化赏析］由y（n）所想到的 66

3.4 微分 67

思考题3.4 69

练习题3.4 69

［数学知识与数学文化赏析］微分——思考显微镜 70

习题3（A） 71

习题3（B） 72

4．导数的应用 74

4.1 函数性态的判定 74

思考题4.1 82

练习题4.1 83

［数学知识与数学文化赏析］微分中值定理 83

4.2 函数的最值及其应用 84

思考题4.2 87

练习题4.2 87

4.3 洛必达法则 88

练习题4.3 91

4.4 导数在经济学中的应用 92

思考题4.4 99

练习题4.4 99

4.5 曲线的弯曲程度——曲率 99

练习题4.5 103

习题4（A） 103

习题4（B） 105

5．不定积分 106

5.1 不定积分的概念 106

思考题5.1 112

练习题5.1 112

［数学知识与数学文化赏析］不定积分概念的进一步认识 112

5.2 换元积分法 114

思考题5.2 119

练习题5.2 120

［数学知识与数学文化赏析］“包装”——凑微分法思想赏析 120

5.3 分部积分法 121

练习题5.3 124

［数学知识与数学文化赏析］中国第一本微积分教材《代微积拾级》简介 125

习题5（A） 127

习题5（B） 128

6．定积分 129

6.1 定积分的概念 129

思考题6.1 134

练习题6.1 134

［数学知识与数学文化赏析］牛顿简介 134

6.2 定积分的计算 136

思考题6.2 142

练习题6.2 142

［数学知识与数学文化赏析］莱布尼兹简介 143

习题6（A） 144

习题6（B） 145

7．定积分的应用 147

7.1 微元法 147

［数学知识与数学文化赏析］积分——累积微分 148

7.2 定积分在几何中的应用 149

思考题7.2 153

练习题7.2 153

［数学知识与数学文化赏析］谁先创立了微积分 153

7.3 定积分在经济中的应用 154

练习题7.3 157

［数学知识与数学文化赏析］一桥飞架南北，天堑变通途——牛顿-莱布尼兹公式 157

习题7 158

附录A．习题参考答案 159

附录B．初等数学知识 167

附录C．基本初等函数的求导公式 172

附录D．基本积分公式 173

参考文献 174