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第7章 向量与空间解析几何 1

7.1 空间直角坐标系 1

7.1.1 空间直角坐标系 1

7.1.2 空间两点间的距离 2

7.2 向量的概念及其坐标 3

7.2.1 向量的概念 3

7.2.2 向量的坐标 4

7.3 向量的数量积 向量积 混合积 7

7.3.1 向量的数量积 7

7.3.2 向量的向量积 9

7.3.3 向量的混合积 10

7.4 空间平面及其方程 12

7.4.1 平面的点法式方程 12

7.4.2 平面的一般式方程 13

7.4.3 两平面的夹角 14

7.4.4 点到平面的距离 14

7.5 空间直线及其方程 15

7.5.1 空间直线的点向式方程与参数式方程 15

7.5.2 空间直线的一般式方程 17

7.5.3 两直线的夹角 18

7.5.4 直线和平面的夹角 18

7.5.5 点到直线的距离 19

7.6 空间曲面 20

7.6.1 空间曲面的概念 20

7.6.2 球面的方程 21

7.6.3 柱面的方程 21

7.6.4 旋转曲面的方程 23

7.6.5 二次曲面 24

7.7 空间曲线及其方程 29

7.7.1 空间曲线的一般式方程 29

7.7.2 空间曲线的参数式方程 30

7.7.3 空间曲面的参数式方程 31

7.7.4 空间曲线在坐标面上的投影 33

7.8 向量值函数 34

7.8.1 向量值函数的定义 34

7.8.2 向量值函数确定的空间曲线 35

7.8.3 向量值函数的极限及连续 36

7.8.4 向量值函数的导数 36

7.8.5 空间质点的运动 38

第8章 多元函数微分学 42

8.1 多元函数的概念、极限与连续性 42

8.1.1 点集 42

8.1.2 多元函数的概念 43

8.1.3 二元函数的极限 45

8.1.4 二元函数的连续性 46

8.2 偏导数 48

8.2.1 二元函数偏导数的定义及其计算方法 48

8.2.2 高阶偏导数 52

8.3 全微分 55

8.3.1 全微分的定义 55

8.3.2 空间曲面的切平面与法线方程 58

8.3.3 全微分在近似计算中的应用 60

8.4 多元复合函数与隐函数的微分法 61

8.5 隐函数存在定理 67

8.5.1 一个方程的情形 67

8.5.2 方程组情形 70

8.5.3 隐函数微分法的几何应用 71

8.6 方向导数与梯度 76

8.6.1 方向导数 76

8.6.2 梯度 79

8.6.3 等值线 等值面 81

8.7 二元函数的极值与条件极值 84

8.7.1 多元函数的极值的概念 84

8.7.2 多元函数极值的求法 86

8.7.3 多元函数最值的求法 87

8.7.4 多元函数的条件极值 89

8.7.5 最小二乘法 91

第9章 重积分 97

9.1 二重积分的概念与性质 97

9.1.1 二重积分的概念 97

9.1.2 二重积分的性质 99

9.2 二重积分的计算方法 102

9.2.1 直角坐标系下计算二重积分 102

9.2.2 极坐标系下计算二重积分 105

9.3 三重积分的概念及其计算 111

9.3.1 三重积分的概念 111

9.3.2 直角坐标系下三重积分的计算方法 113

9.3.3 利用柱面坐标计算三重积分 117

9.3.4 利用球面坐标计算三重积分 119

9.4 重积分的应用 124

9.4.1 几何应用 124

9.4.2 物理应用 129

第10章 曲线积分与曲面积分 137

10.1 数量值函数的曲线积分（第一型曲线积分） 137

10.1.1 数量值函数的曲线积分的概念与性质 137

10.1.2 数量值函数的曲线积分的计算方法 139

10.2 向量值函数的曲线积分（第二型曲线积分） 143

10.2.1 向量值函数的曲线积分的概念与性质 144

10.2.2 向量值函数的曲线积分的计算方法 146

10.2.3 两类曲线积分之间的联系 150

10.3 格林公式及其应用 152

10.3.1 格林公式 152

10.3.2 平面上的曲线积分与路径无关 157

10.3.3 二元函数全微分求积 160

10.3.4 全微分方程 163

10.4 数量值函数的曲面积分（第一型曲面积分） 165

10.4.1 数量值函数的曲面积分的概念与性质 165

10.4.2 数量值函数的曲面积分的计算方法 167

10.5 向量值函数的曲面积分（第二型曲面积分） 170

10.5.1 向量值函数的曲面积分的概念与性质 170

10.5.2 向量值函数的曲面积分的计算方法 173

10.5.3 两类曲面积分之间的联系 177

10.6 高斯公式 通量与散度 179

10.6.1 高斯公式 179

10.6.2 通量与散度 182

10.7 斯托克斯公式环流量与旋度 185

10.7.1 斯托克斯（Stokes）公式 185

10.7.2 环量与旋度 188

第11章 无穷级数 193

11.1 常数项级数的概念与性质 193

11.1.1 常数项级数的概念及其产生的背景 193

11.1.2 数项级数的基本性质 196

11.2 正项级数及其敛散性 199

11.2.1 正项级数及其敛散性判别法 199

11.2.2 比较审敛法 200

11.2.3 比值审敛法 203

11.2.4 根值审敛法 204

11.2.5 积分审敛法 204

11.3 任意项级数 208

11.3.1 交错级数及其收敛性 208

11.3.2 绝对收敛与条件收敛 208

11.4 幂级数及其收敛性 211

11.4.1 幂级数的概念 211

11.4.2 幂级数的定义及其收敛性 212

11.4.3 幂级数的运算及幂级数和函数的性质 215

11.5 函数展开成幂级数 218

11.5.1 泰勒级数和麦克劳林级数 218

11.5.2 函数展开成幂级数 220

11.6 函数展开成幂级数的应用 224

11.6.1 近似计算 224

11.6.2 微分方程的幂级数解法 226

11.6.3 欧拉（Euler）公式 227

11.7 傅里叶级数 229

11.7.1 三角级数及其三角函数系的正交性 229

11.7.2 函数展开成傅里叶级数 230

11.7.3 正弦级数和余弦级数 234

11.7.4 周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 237

习题答案与提示 246

参考文献 269