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第1章 数学建模概论 1

1.1数学模型与数学建模 1

1.1.1原型和模型 1

1.1.2数学模型的定义及分类 2

1.1.3数学建模的定义和作用 3

1.2数学建模的基本方法和步骤 4

1.2.1数学建模的基本方法 4

1.2.2数学建模的一般步骤 4

1.2.3对数学建模的要求 6

1.3数学建模的教与学 6

1.3.1数学建模的教学 6

1.3.2数学建模的学习 8

1.4数学建模竞赛 9

习题1 10

第2章 初等数学模型 12

2.1抽屉原理和奇偶校验 12

2.1.1抽屉原理 12

2.1.2奇偶校验 14

2.2比例和类比法 15

2.2.1划艇比赛成绩 15

2.2.2双层玻璃的功效 16

2.2.3代表席位的分配 18

2.2.4生猪的体重 20

2.3图解法 21

2.3.1过河问题 21

2.3.2核军备竞赛 23

2.3.3实物交换 24

2.4量纲分析法 26

2.4.1国际单位 27

2.4.2量纲齐次原则 27

2.4.3量纲分析的一般方法 28

2.4.4无量纲化方法 30

习题2 32

第3章 数学规划模型 34

3.1线性规划模型 34

3.1.1线性规划的基本理论 34

3.1.2线性规划的求解方法 35

3.1.3线性规划的应用 40

3.2整数规划和0-1规划模型 46

3.2.1整数规划 46

3.2.2 0-1规划 50

3.3非线性规划模型 54

习题3 56

第4章 微积分模型 62

4.1微分模型 62

4.1.1简单的微分模型 62

4.1.2森林救火模型 63

4.1.3库存模型 64

4.2积分模型 67

4.2.1火箭的发射问题 67

4.2.2 DVD的销售问题 68

4.2.3人口分布问题 69

4.2.4火车的行驶问题 70

习题4 71

第5章 微分方程模型 73

5.1微分方程的一般理论 73

5.1.1微分方程解的存在性与唯一性 73

5.1.2饱和解及饱和区间 74

5.1.3局部Lipschitz条件 74

5.2人口模型 74

5.2.1指数增长模型——Malthus人口模型 75

5.2.2阻滞增长模型（Logistic模型） 75

5.2.3新产品的推广 77

5.3 Van Meegeren伪造品的鉴定 78

5.3.1模型的建立 78

5.3.2模型的假设 79

5.3.3模型的分析 79

5.4冰块融化与运输问题 81

5.4.1冰块融化问题的数学模型 81

5.4.2冰块运输问题的数学模型 82

5.5传染病模型 85

5.5.1指数增长模型 85

5.5.2 SI模型 86

5.5.3 SIS模型 87

5.5.4 SIR模型 88

5.6生物种群具有年龄结构的SI传染病模型 90

5.6.1模型的建立 90

5.6.2模型平衡点的存在性 90

5.6.3模型平衡点的稳定性 90

5.7 SARS传染病的数学模型 92

5.7.1两类人模型 93

5.7.2三类人模型 94

5.7.3四类人模型 96

5.7.4五类人模型 98

5.7.5模型分析 99

5.7.6改进模型 100

5.8药物在体内的分布 103

5.8.1问题背景 103

5.8.2模型假设 104

5.8.3模型的建立 104

5.9香烟过滤嘴的作用 108

5.9.1问题背景 108

5.9.2模型假设 109

5.9.3模型建立与求解 109

5.9.3模型分析 111

习题5 112

第6章 微分方程稳定性模型 116

6.1微分方程稳定性理论 116

6.1.1李雅普诺夫稳定性定义 116

6.1.2李雅普诺夫第一法 116

6.1.3一阶方程的平衡点及稳定性 117

6.1.4二阶方程的平衡点及稳定性 117

6.1.5其稳定性也可以用直接方法来判断 117

6.2可再生资源的管理模型 118

6.2.1捕捞模型 119

6.2.2效益模型 120

6.2.3捕捞过度模型 121

6.3相互作用的种群生态模型 121

6.3.1相互竞争 122

6.3.2相互依存 124

6.3.3种群的弱肉强食 126

6.4理查森军备竞赛理论 130

6.4.1问题背景 130

6.4.2模型假设 130

6.4.3模型建立与求解 131

6.4.4模型的参数估计 132

6.5具有收获率的HollingⅡ类功能性反应的捕食模型 133

6.5.1模型的建立 133

6.5.2模型的求解 134

6.6具有收获率的HollingⅡ类功能性反应的数学模型 136

6.6.1两种群都具有密度制约项的HollingⅢ类功能性反应的捕食模型 136

6.6.2食饵种群具有密度制约项的具有收获率的HollingⅢ类功能性反应捕食模型 139

6.7具有收获率的一般功能性反应模型的定性分析 144

6.7.1模型的建立 144

6.7.2模型的假设条件 144

6.7.3模型的稳定性分析 145

6.8具有线性收获率的Kolmogorov数学模型 146

6.8.1模型的建立 146

6.8.2模型的假设 147

6.8.3模型的定性分析 147

6.9具有收获率的广义Kolmogorov数学模型 149

6.9.1模型的建立 149

6.9.2模型的假设 149

6.9.3模型正平衡点的稳定性分析 150

习题6 151

第7章 层次分析模型 153

7.1层次分析法的概述 153

7.1.1层次分析法产生背景及定义 153

7.1.2层次分析法的基本方法与步骤 153

7.1.3层次分析法在公理化体系中的应用 156

7.2大学生毕业选择单位问题 160

7.2.1问题描述 160

7.2.2问题的求解 160

7.3应急电力系统的修复计划问题 163

7.3.1问题描述 163

7.3.2问题的求解 165

7.4企业利润合理分配问题 166

7.4.1问题描述 166

7.4.2问题的求解 166

7.5旅游景点的选取问题 167

7.5.1问题的描述 167

7.5.2问题的求解 167

7.6人力资源管理问题 169

7.6.1问题的提出 169

7.6.2模型的建立 169

7.6.3人力资源方面的其他用途 172

7.7公路路线方案比选问题 173

7.7.1建立递阶层次结构模型 173

7.7.2构造判断矩阵 174

7.7.3层次单排序及其一致性检验 174

7.7.4层次总排序及其一致性检验 176

习题7 176

第8章 差分方程模型 178

8.1差分方程的一般理论 178

8.1.1函数的差分 178

8.1.2差分方程的基本概念 179

8.1.3线性差分方程解的基本定理 180

8.1.4常系数线性差分方程 181

8.1.5二阶常系数线性差分方程的解法 183

8.2筹措教育经费的差分模型 184

8.2.1问题的提出 184

8.2.2问题的求解 185

8.3价格与库存的差分模型 185

8.3.1问题的提出 185

8.3.2问题的求解 185

8.4动态经济系统的蛛网模型 186

8.4.1问题的提出 186

8.4.2问题的求解 186

8.5种群生态学中的虫口模型 188

8.5.1问题的提出 188

8.5.2问题的解决 188

8.6人口的控制与预测的差分模型 189

8.6.1问题的提出 189

8.6.2问题的求解 189

8.7一些金融问题的差分方程模型 191

8.7.1贷款模型 191

8.7.2养老保险模型 191

8.8国民收入的稳定问题 192

8.8.1问题提出 192

8.8.2模型假设 192

8.8.3模型求解 193

习题8 194

第9章 生态系统的最优捕获问题的数学模型 195

9.1 Volterra互惠系统的捕获优化问题的数学模型 195

9.1.1模型的建立 195

9.1.2系统稳定性的讨论 195

9.1.3最优捕获策略 196

9.2具有密度制约项的互惠系统捕获问题的数学模型 197

9.2.1独立捕获模式 197

9.2.2同时捕获模式 199

9.3具有年龄结构的单种群捕获问题的数学模型 201

9.4具有密度制约项的捕食系统的捕获问题的数学模型 203

9.4.1奇点的定性分析 203

9.4.2最优捕获策略 204

习题9 206

第10章 具有收获率的三种群数学模型 208

10.1预备知识 208

10.2具有收获率的简单的三种群数学模型 209

10.2.1模型的建立 209

10.2.2平衡点的存在性 210

10.2.3平衡点的性态 210

10.3一般性的具有收获率的三种群数学模型 212

10.3.1模型的建立 212

10.3.2模型的假设 213

10.3.3平衡点的存在性 213

10.3.4平衡点的性态 214

10.3.5模型正平衡点的稳定性 215

10.3.6数值模拟 216

习题10 217

第11章 常用数学建模软件 218

11.1 MathCAD 218

11.1.1软件概述 218

11.1.2基本操作及常用功能 218

11.1.3应用举例 222

11.2 Mathematica 227

11.2.1软件概述 227

11.2.2基本操作及常用功能 227

11.2.3应用举例 230

11.3 Lingo 236

11.3.1软件概述 236

11.3.2基本操作及常用语法 236

11.3.3应用举例 240

习题11 244

参考文献 248