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第1章 实数与函数 1

1.1实数 1

1.1.1有理数与无理数 1

1.1.2确界原理 4

1.1.3不等式 7

1.2函数 10

1.2.1函数的定义 10

1.2.2函数的运算 13

1.2.3函数的表示方法 17

复习 23

第2章 极限理论 26

2.1数列极限 27

2.1.1数列极限的定义 27

2.1.2数列极限的性质与四则运算法则 31

2.1.3数列收敛的判别法则 36

2.1.4自然对数底e 42

2.2函数极限 49

2.2.1函数极限的定义 49

2.2.2函数极限的性质与四则运算 55

2.2.3复合函数的极限 58

2.2.4函数极限的判别法则 60

2.2.5两个重要极限及其应用 61

2.3无穷小量与无穷大量 69

2.3.1无穷小量及其比较 69

2.3.2无穷大量及其比较 74

2.4函数的连续性 77

2.4.1函数连续性的概念 78

2.4.2连续函数的性质与四则运算 81

2.4.3初等函数的连续性 83

2.4.4有界闭区间上连续函数的性质 86

2.4.6一致连续性 89

复习 95

第3章 单变量函数的微分学 101

3.1函数的导数 101

3.1.1导数的定义 102

3.1.2函数的求导法则 107

3.1.3函数的求导公式 113

3.1.4高阶导数 118

3.2函数的微分 129

3.2.1微分的定义 129

3.2.2微分运算的基本公式和法则 131

3.2.3高阶微分 133

3.2.4微分的应用——近似计算与误差估计 134

3.3微分中值定理 138

3.3.1罗尔定理 139

3.3.2拉格朗日中值定理 141

3.3.3柯西中值定理 143

3.4未定式的极限与洛必达法则 148

3.4.1洛必达法则 148

3.4.2其他类型的未定式 152

3.5泰勒展开 155

3.5.1泰勒公式 156

3.5.2几个初等函数的麦克劳林公式 159

3.5.3泰勒公式的应用 162

3.6导数的应用 167

3.6.1函数的单调性与极值 169

3.6.2函数的凹凸性与渐近线 172

3.6.3函数图像的描绘 177

3.6.4平面曲线的曲率 179

复习 187

第4章 单变量函数的积分学 192

4.1不定积分的概念与性质 192

4.1.1原函数与不定积分的概念 192

4.1.2不定积分的基本公式与基本运算法则 194

4.2不定积分的计算方法 199

4.2.1不定积分的换元法 199

4.2.2不定积分的分部积分法 205

4.2.3几种特殊类型函数的积分 208

4.3定积分的概念和可积函数 223

4.3.1定积分的概念 224

4.3.2可积性判别准则与可积函数类 228

4.4定积分的基本性质与微积分基本定理 237

4.4.1定积分的基本性质 237

4.4.2微积分基本定理 246

4.5定积分的计算方法 255

4.5.1定积分的换元法 255

4.5.2定积分的分部积分法 259

4.6定积分的应用 265

4.6.1定积分在几何上的应用举例 265

4.6.2定积分在物理上的应用举例 276

4.7广义积分 282

4.7.1无穷区间上的积分 282

4.7.2无界函数的积分 288

复习 293

第5章 微分方程 296

5.1微分方程的基本概念 297

5.2一阶微分方程 301

5.2.1变量分离方程 302

5.2.2齐次方程 304

5.2.3可化为齐次方程的方程 307

5.2.4一阶线性方程 310

5.2.5伯努利方程 315

5.3可降阶的二阶微分方程 317

5.3.1不显含未知函数的二阶微分方程 317

5.3.2不显含自变量的二阶微分方程 318

5.4二阶线性微分方程解的结构 321

5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构 321

5.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构 327

5.5二阶常系数线性微分方程 330

5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程 330

5.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程 333

5.5.3欧拉方程 337

5.6微分方程的应用 339

5.6.1贷款模型 340

5.6.2人口增长模型 343

5.6.3质点振动模型 346

复习 354

附录 实数的构造 357

参考答案 367

索引 402