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吴大猷先生论统计力学（代序） 1

前言 3

总论 1

0.1统计力学的理论意义 3

0.2平衡态统计力学和非平衡态统计力学 5

0.3平衡态统计力学溯源 6

0.4平衡态统计力学的3种理论和流体动力学的两种描述 13

上部 平衡态统计力学 21

第1章 平衡态统计力学基础 21

1.1系综 23

1.1.1“系综理论”的出发点是放弃企图编造物质（分子）结构的过分要求 24

1.1.2“系综”中的“系统”之间存在相互作用 25

1.1.3“系综”和“系统”之间的区别和联系 25

1.1.4引入“系综理论”的必要性 26

1.1.5“系综理论”相当于流体动力学中的“Euler描述” 27

1.1.6平衡态统计力学中的“系综”应被理解为“动态系综”的一个特殊情况 27

1.1.7关于“系综”的若干实例 28

1.1.8对“系综理论”的某些误解 29

1.1.9“系综理论”既是方法论又是世界观 30

1.2统计力学的基本假设 31

1.2.1公设 31

1.2.2统计力学系综描述的三大公设 31

1.3 Poincare相空间体积不变性，Liouville方程和Liouville定理 36

1.3.1 Poincare相空间体积不变性 36

1.3.2 Liouville方程 39

1.3.3 Liouville定理 44

1.3.4等离子体Vlasov方程 46

1.3.5系综平均 47

1.4 Liouville方程的精确解 48

1.4.1 Liouville方程的平凡解 49

1.4.2关于f（pk，qk）所满足的方程 50

1.4.3 Liouville方程精确解举例 50

1.4.4关于Liouville方程精确解的讨论 51

1.5系统之间的“隐关联” 52

1.5.1“系综理论”中“系统”之间的“隐关联” 53

1.5.2量子力学中的“隐关联” 54

1.5.3关于“隐关联”的讨论 55

习题 57

第2章 统计力学的Euler描述：系综理论 60

2.1微正则系综、正则系综和巨正则系综以及它们的配分函数 63

2.1.1微正则系综、正则系综和巨正则系综中“系综数密度”的一般性推导 65

2.1.2巨正则系综中的Bose分布和Fermi分布 69

2.1.3关于微正则系综、正则系综和巨正则系综中“系综数密度”的讨论 71

2.1.4关于“配分函数”的讨论 72

2.2统计权重f（ε）和状态数密度Dε） 76

2.2.1统计权重f（ε） 77

2.2.2状态数密度D（ε） 78

2.2.3关于状态数密度D（ε）的讨论 83

2.3系综理论中“配分函数”和热力学量的统计表达式之间的关系 86

2.3.1正则系综配分函数Z和热力学量的统计表达式之间的关系 86

2.3.2巨正则系综配分函数Z和热力学量的统计表达式之间的关系 89

2.3.3关于系综配分函数Z及Z和热力学量的统计表达式之间关系的讨论 93

2.4一些常用的配分函数和巨配分函数 97

2.4.1 Boltzmann统计中几个重要的配分函数 97

2.4.2 Boltzmann统计中的热力学量 101

2.4.3非相对论Bose气体和Fermi气体的巨配分函数 102

2.4.4相对论Bose气体（光子气体）的巨配分函数 105

2.5等温-等压系综和T-P分布 110

2.5.1等温-等压系综的配分函数 110

2.5.2等温-等压系综中的热力学量 111

2.5.3有关T-P系综的讨论 113

2.6能量均分定理 116

2.6.1广义能量均分定理的证明 117

2.6.2几种气体的能量均分定理 119

2.6.3关于势能项的配分函数及其能量均分定理 121

2.7统计力学中各种统计方法之间的逻辑关系 123

2.7.1系统理论作为系综理论的特殊情况 123

2.7.2微正则系综、正则系综和巨正则系综之间的关系 128

2.7.3系综理论中Boltzmann统计、Bose统计和Fermi统计之间的关系 132

习题 133

第3章 统计系综中的配分函数及其应用 148

3.1统计力学中的算符 150

3.1.1热力学中的Poisson括号 150

3.1.2统计力学中的算符 151

3.1.3有关统计力学中的算符的讨论 154

3.2正则系综的配分函数与Laplace变换 155

3.2.1正则系综的配分函数Z 156

3.2.2 Laplace变换的定义和性质 156

3.2.3“逆Laplace变换”的应用 160

3.3常用的配分函数及其应用（无“显关联”系统的Boltzmann统计 165

3.3.1系统“无势平动”时的“子配分函数” 166

3.3.2系统“无势转动”时的“子配分函数” 167

3.3.3系统振动时的“子配分函数” 172

3.3.4内部电子运动的“子配分函数” 175

3.3.5顺磁性物质的“子配分函数” 175

3.3.6应用：顺磁性物质的磁性 178

3.3.7应用：负绝对温度状态 179

3.3.8“多原子分子”气体的热容量 185

3.3.9 Einstein固体热容量理论 191

3.4常用的配分函数及其应用（无“显关联”系统的Bose统计和Fermi统计） 193

3.4.1 Bose统计和Fermi统计的巨配分函数 193

3.4.2应用：光子气体 198

3.4.3 Debye固体热容量理论 204

3.4.4应用：液氦和Landau的超流理论 209

3.4.5Bose气体 213

3.4.6Fermi气体 217

3.4.7应用：高温致密物体 222

3.5常用的配分函数及其应用（有“显关联”系统的Boltzmann统计 225

3.5.1有“显关联”系统的Boltzmann统计的精确解：两粒子系统 225

3.5.2非理想气体的正则配分函数以及“位形积分”的引入 228

3.5.3有“显关联”系统的Boltzmann统计的近似解：非理想气体状态方程的推导 231

3.5.4有“显关联”系统的Boltzmann统计的精确解：非理想气体的集团展开法 235

3.5.5有“显关联”系统的反问题：由热力学状态方程求“位形积分” 244

习题 246

第4章 相变理论和临界现象 268

4.1“相变”问题统计力学 271

4.1.1“相变”和“临界现象” 271

4.1.2平衡态统计力学的3个步骤 273

4.1.3统计力学能否描述“相变”？ 274

4.2李政道和杨振宁的凝聚理论 275

4.2.1李政道关于“Mayer猜想”的评论 275

4.2.2李政道和杨振宁的相变理论 276

4.3 Ising模型 282

4.3.1 Ising模型的物理学史 282

4.3.2 Ising模型的配分函数 285

4.4二维Ising模型的精确解 300

4.4.1二维Ising模型问题 301

4.4.2二维Ising模型问题的矩阵形式 302

4.4.3 Λ'1，Λ2，Λ3矩阵的Pauli自旋矩阵表示 303

4.4.4自旋表象中的Λ矩阵 309

4.4.5矩阵Γ2m＋1对角化的表象 313

4.4.6转动矩阵ω的自旋表象及其本征值 314

4.4.7Λ＋和Λ－的本征值&（ 318

4.4.8Λ的本征值及其最大本征值 323

4.4.9二维Ising模型的热力学性质 325

4.5标度律与普适性 330

4.5.1“临界指数”的引入和“平均场理论”的误差 330

4.5.2平均场理论只是在4维以上空间才总是正确 335

4.5.3临界指数和标度关系 337

4.5.4标度假定 339

4.5.5自相似变换 342

4.5.6普适类和Kadanoff假定 345

4.6重整化群 346

4.6.1由Kadanoff“块自旋”变换至“关联函数”的标度形式 349

4.6.2重整化群的定义 350

4.6.3“重整化群”变换中的“不动点” 354

4.6.4在“不动点”附近将“重整化群”线性化以计算“临界指数” 355

4.6.5讨论 356

习题 357

下部 非平衡态统计力学 365

第5章 非平衡态统计力学的动理学理论 365

5.1 BBGKY方程序列 367

5.1.1系综的“约化”数密度 367

5.1.2用“约化”数密度表示的BBGKY方程序列 370

5.1.3讨论 371

5.2 Boltzmann方程 372

5.2.1由BBGKY方程链推导Boltzmann方程 372

5.2.2 Boltzmann方程的原始推导 374

5.2.3用全面的系综理论重新推导Boltzmann方程：“Boltzmann-Gibbs方程” 381

5.2.4 Boltzmann-Gibbs方程的精确解 385

5.3 Boltzmann的H定理和热力学第二定律 389

5.3.1 Boltzmann的H定理 389

5.3.2 Loschmidt和Zermelo对“H定理”的批评 391

5.4求解传统Boltzmann方程的Chapman-Enskog法 396

5.5 Boltzmann方程的Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）近似和气体输运系数的计算以及格子Boltzmann方程 399

5.5.1 Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）近似下的Boltzmann方程的简单推导 399

5.5.2 Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）近似的原始出发点 399

5.5.3 Boltzmann-BGK方程的精确解 400

5.5.4气体输运系数的计算 401

5.5.5格子Boltzmann方程 403

5.6流体动力学的基本方程 405

5.6.1二体碰撞的碰撞守恒量 406

5.6.2由Boltzmann方程推导流体动力学基本方程组 407

5.6.3流体动力学基本方程组的原始推导 410

5.6.4流体动力学的本构方程 414

5.6.5讨论 415

5.7流体动力学基本方程组在物理学其他学科中的应用 416

5.7.1非平衡态热力学 417

5.7.2经典电动力学 419

5.7.3磁流体力学（MHD）或电磁流体力学（EMHD） 420

5.7.4量子力学 425

习题 427

第6章 非平衡态统计力学的随机理论：Brown运动 431

6.1 Fokker-Planck方程 433

6.1.1 Fokker-Planck方程的导出 433

6.1.2 Fokker-Planck方程对于Brown运动问题的应用 441

6.2 Perrin的两个实验 441

6.2.1第一个实验 441

6.2.2第二个实验 442

6.3 Ornstein-Uhlenbeck过程的Fokker-Planck方程的精确解 442

6.3.1 Ornstein-Uhlenbeck过程 442

6.3.2 Ornstein-Uhlenbeck过程的Fokker-Planck方程与量子力学Schr？dinger方程 444

6.4 Langevin方程及其精确解 447

6.4.1Langevin方程 447

6.4.2 Langevin方程的解 447

6.4.3 Langevin方程与Fokker-Planck方程之间的关系 448

6.5随机力学 449

6.5.1 Nelson-de la Pena-Auerhach方程 449

6.5.2 Bohm的“量子势诠释”和Madelung-高林武彦“流体动力学表象” 453

6.5.3 Nelson的随机力学 455

6.5.4随机力学的物理方面 456

6.5.5随机力学的其他方面 458

6.6涨落-耗散定理 459

6.6.1 Brown运动所对应的条件几率P2（v0|v） 459

6.6.2 Brown运动所对应的几率分布W1（v） 460

6.6.3涨落-耗散定理 461

习题 462

附录A平衡态Maxwell-Boltzmann统计 465

A.1平衡态统计力学最初使用的公设 465

A.1.1一些相关的概念 465

A.1.2五大公设 466

A.2平衡态Maxwell-Boltzmann统计的基本方案 469

A.2.1 Boltzmann分布、Bose分布和Fermi分布的“状态数” 471

A.2.2由Maxwell“最可几理论，，推导“Boltzmann分布”、“Bose分布”和“Fermi分布” 472

A.3 Maxwell速度分布律 478

A.3.1 Maxwell速度分布律 479

A.3.2 Maxwell分布律的其他几种形式 480

A.4 Boltzmann密度分布律 483

A.4.1 Boltzmann的密度按高度的分布律 483

A.4.2 Maxwell-Boltzmann分布律 484

附录B平衡态Boltzmann统计中的一些常用积分 485

参考文献 491

人名索引 501

表2.1微正则系综、正则系综和巨正则系综的配分函数 75

表2.2 Maxwell分布、Bose分布和Fermi分布的统计权重和巨配分函数 75

表2.3常用的3⊕⊕3维相空间中的“态密度”D（ε）（通常统计方案） 81

表2.4常用的3N⊕3N维相空间中的“态密度”D（ε） 83

表2.5常用的3⊕⊕3维相空间中的“统计密度”D（ε）（用统计权重f（ε）的统计方案） 85

表2.6系综理论中“配分函数”和“巨配分函数”与热力学量的统计表达式 92

表2.7 Boltzmann分布的配分函数和热力学量的统计表达式 94

表2.8 Boltzmann统计中几个重要的配分函数 100

表2.9 Bose统计和Fermi统计中几个重要的配分函数 105

表2.10正则系综和T-P系综对照表 112

表2.11最可几理论、平均值理论和系综理论的比较 128

表3.1无“显关联”系统的Boltzmann统计中的常用配分函数 177

表3.2统计力学中的几种特征温度 221

表3.3非理想气体的配分函数和巨配分函数的对数 238

表3.4几种非理想气体的“位形积分” 245

表4.1“一级相变”和“二级相变”的区别 273

表4.2“铁磁体”、“点阵气体”和“二元合金”中有关物理量的代换关系 296

表4.3几类常见的“序参量”以及相关的“相变”特征 331

表4.4几种常用气体的“临界指数” 334

表4.5 Bragg-Williams近似下的“临界指数”的理论值和实验值之间的比较 337

表4.6临界指数的部分实验结果 337

表4.7临界指数的理论值 338

表4.8“重整化群”理论和数值模拟两种计算结果的对比 356

表5.1通常气体中与“等离子体”中的几个特征尺度 421

表A.1 Boltzmann分布、Bose分布和Fermi分布的“热力学几率” 471

表A.2 Boltzmann分布、Bose分布和Fermi分布 472

表A.3 Maxwell分布律中的分布密度 481

表B.1一些具体的Laplace变换 486

表B.2平衡态Boltzmann统计中的常用积分 488

表B.3平衡态Boltzmann统计中一些有用的积分 489

表B.4平衡态Bose统计和Fermi统计中的有用积分 490