线性代数选讲PDF电子书下载

第一讲 行列式的计算 1

1.1 重要的定理与公式 1

1.2 利用行列式的定义计算行列式 3

1.3 计算行列式的基本方法 4

1.3.1 化三角形法 5

1.3.2 降阶法 7

1.3.3 递推法 11

1.3.4 利用范德蒙德行列式计算 15

1.3.5 加边法 16

1.3.6 数学归纳法 17

1.4 抽象行列式的计算 24

习题一 25

第二讲 矩阵 27

2.1 矩阵乘法及可交换性 27

2.1.1 矩阵的乘法 27

2.1.2 矩阵乘法的可交换性 30

2.2 矩阵的方幂与多项式 33

2.3 可逆矩阵 41

2.4 矩阵方程 48

习题二 53

第三讲 分块矩阵的初等变换及其应用 56

3.1 分块矩阵的初等变换 56

3.2 在逆矩阵中的应用 58

3.3 在行列式中的应用 60

习题三 66

第四讲 矩阵的秩 68

4.1 矩阵秩的概念与性质 68

4.2 矩阵秩的求法 69

4.2.1 初等变换法 70

4.2.2 子式法 71

4.2.3 用性质或有关结论求秩法 72

4.2.4 极大线性无关组法 73

4.3 矩阵秩的等式与不等式的证明 73

4.4 用线性方程组理论解决矩阵秩的问题 81

4.5 矩阵多项式的秩 82

习题四 84

第五讲 秩为1矩阵的性质及应用 87

习题五 92

第六讲 线性方程组 94

6.1 含参数的线性方程组的解法 94

6.2 两个线性方程组同解的判定 101

6.3 求两个线性方程组的公共解 109

6.4 抽象线性方程组的求解与证明 113

习题六 118

第七讲 几种重要的特殊矩阵 122

7.1 对称矩阵与反对称矩阵 122

7.2 正交矩阵 127

7.3 幂等矩阵与对合矩阵 129

7.4 幂零矩阵 134

7.5 循环矩阵 139

习题七 141

第八讲 矩阵分解 143

8.1 矩阵的秩分解 143

8.2 矩阵的满秩分解 144

8.3 矩阵的LU分解 149

8.4 矩阵的QR分解与Cholesky分解 151

8.5 矩阵的奇异值分解 153

8.6 矩阵的谱分解 155

8.7 矩阵的其他分解 156

习题八 157

第九讲 微小摄动法及其应用 158

习题九 164

第十讲 矩阵的迹 165

习题十 169

第十一讲 线性空间与线性变换 170

11.1 线性空间 170

11.1.1 基本概念与主要定理 170

11.1.2 典型例题解析 171

11.2 线性变换 180

11.2.1 基本概念与重要定理 180

11.2.2 典型例题解析 183

习题十一 193

第十二讲 矩阵的特征值与特征向量 195

习题十二 204

第十三讲 矩阵的相似与可对角化 206

13.1 元素已知矩阵的相似与可对角化的判定和计算 208

13.2 抽象矩阵相似与可对角化的判定 214

13.3 矩阵可同时对角化 217

习题十三 220

第十四讲 矩阵的特征多项式及最小多项式 222

习题十四 229

第十五讲 二次型与正定矩阵 231

15.1 二次型的标准形 231

15.1.1 基本概念定理与基本方法 231

15.1.2 典型例题解析 232

15.2 正定二次型与正定矩阵 239

15.2.1 基本概念与重要定理 239

15.2.2 正定二次型的判定与应用 240

习题十五 250

第十六讲 欧氏空间 252

16.1 欧氏空间概念与性质 252

16.1.1 基本概念与重要定理 252

16.1.2 典型例题解析 254

16.2 正交变换与对称变换 257

16.2.1 基本概念与主要定理 257

16.2.2 典型例题解析 258

习题十六 265

第十七讲 酉矩阵、埃尔米特矩阵与正规矩阵 266

习题十七 271

第十八讲 中国剩余定理及其应用 272

习题十八 276

附录A 符号与约定 278

参考文献 280