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第1章 函数与极限 1

1.1 集合与实数系 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 2

1.1.3 实数系 4

习题1.1 5

1.2 函数 6

1.2.1 函数 6

1.2.2 函数的几种特性 8

1.2.3 反函数 9

1.2.4 复合函数 10

1.2.5 基本初等函数 11

1.2.6 初等函数 13

1.2.7 双曲函数和反双曲函数 13

习题1.2 13

1.3 数列的极限 14

1.3.1 数列极限的定义 14

1.3.2 收敛数列的性质 18

1.3.3 收敛数列的运算 20

习题1.3 21

1.4 数列极限存在的条件 21

1.4.1 夹挤收敛准则 21

1.4.2 有界收敛准则 22

1.4.3 柯西收敛准则 25

1.4.4 实数系的完备性 26

习题1.4 26

1.5 函数的极限 27

1.5.1 自变量趋向有限值时函数的极限 27

1.5.2 自变量趋向无穷大时函数的极限 30

1.5.3 函数极限的性质 32

1.5.4 函数极限的运算 32

习题1.5 34

1.6 函数极限存在的条件 35

1.6.1 函数极限收敛准则 35

1.6.2 两个重要极限 37

习题1.6 41

1.7 无穷小与无穷大 41

1.7.1 无穷小 41

1.7.2 无穷大 43

1.7.3 无穷小的比较 45

习题1.7 49

1.8 连续函数 50

1.8.1 函数的连续性 50

1.8.2 函数的间断点 51

1.8.3 连续函数的运算 54

1.8.4 初等函数的连续性 55

习题1.8 57

1.9 闭区间上连续函数的性质 58

1.9.1 一致连续性 58

1.9.2 有界性 61

1.9.3 介值性 62

习题1.9 64

第2章 导数与微分 66

2.1 导数的概念 66

2.1.1 导数的定义 66

2.1.2 导数的几何意义 70

2.1.3 几个基本初等函数的导数公式 70

2.1.4 导函数的介值定理 72

习题2.1 73

2.2 求导法则 74

2.2.1 函数四则运算的求导法则 74

2.2.2 反函数的求导法则 76

2.2.3 复合函数的求导法则 77

2.2.4 基本初等函数导数公式 81

习题2.2 81

2.3 高阶导数 82

2.3.1 高阶导数的定义 82

2.3.2 基本初等函数的n阶导数公式 83

习题2.3 85

2.4 隐函数与参数式函数的求导法则 85

2.4.1 隐函数的导数 85

2.4.2 参数方程表示的函数的导数 88

2.4.3 相关变化率 90

习题2.4 92

2.5 微分 93

2.5.1 微分的定义 93

2.5.2 微分基本公式和运算法则 95

2.5.3 微分的近似计算 97

2.5.4 微分在近似计算中的应用 98

2.5.5 高阶微分 98

习题2.5 99

第3章 微分中值定理及其应用 101

3.1 拉格朗日中值定理和函数单调性 101

3.1.1 罗尔中值定理 101

3.1.2 拉格朗日中值定理 102

3.1.3 函数单调性的判定法 105

习题3.1 108

3.2 柯西中值定理和洛必达法则 110

3.2.1 柯西中值定理 110

3.2.2 洛必达法则 111

习题3.2 116

3.3 泰勒公式 118

3.3.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 118

3.3.2 带有拉格朗日余项的泰勒公式 121

3.3.3 泰勒公式在近似计算中的应用 123

习题3.3 124

3.4 函数的极值与最大值最小值 125

3.4.1 极值的判别定理 125

3.4.2 最大值最小值问题 128

习题3.4 130

3.5 函数的凸性与拐点 130

3.5.1 曲线凹凸性 130

3.5.2 曲线的拐点及其求法 132

习题3.5 134

3.6 函数图像的描绘 134

3.6.1 渐近线的概念 134

3.6.2 函数作图 135

习题3.6 138

3.7 曲率 138

3.7.1 弧微分 138

3.7.2 曲率的概念 140

3.7.3 曲率的计算公式 141

习题3.7 143

3.8 方程的近似解 144

3.8.1 求方程近似解的条件 144

3.8.2 求方程近似解的方法 144

习题3.8 146

第4章 不定积分 147

4.1 不定积分的概念与性质 147

4.1.1 原函数与不定积分 147

4.1.2 不定积分的性质 148

4.1.3 基本积分公式（一） 149

习题4.1 150

4.2 换元积分法 151

4.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 151

4.2.2 第二换元积分法 154

4.2.3 简单无理函数的积分 157

习题4.2 158

4.3 分部积分法 159

4.3.1 分部积分法公式 159

4.3.2 各种类型函数的分部积分法 159

习题4.3 161

4.4 有理函数积分法 162

4.4.1 有理函数的积分 162

4.4.2 三角函数有理式的积分 166

习题4.4 168

4.5 积分表的使用 168

习题4.5 169

第5章 定积分 171

5.1 定积分的概念与性质 171

5.1.1 定积分的定义 171

5.1.2 可积的必要条件 173

习题5.1 175

5.2 函数可积的条件 175

5.2.1 达布和 175

5.2.2 可积的充分条件 177

5.2.3 可积函数类 178

习题5.2 180

5.3 定积分的性质 181

5.3.1 定积分的基本性质 181

5.3.2 定积分的不等式 182

5.3.3 定积分的中值定理 184

习题5.3 185

5.4 微积分基本定理 186

5.4.1 积分上限的函数 186

5.4.2 牛顿-莱布尼茨公式 189

5.4.3 更一般条件下的牛顿-莱布尼茨公式 190

习题5.4 191

5.5 定积分的换元法和分部法 192

5.5.1 定积分的换元积分法 192

5.5.2 定积分的分部积分法 197

习题5.5 199

5.6 广义积分 201

5.6.1 无穷区间上连续函数的广义积分 201

5.6.2 有限区间上无界函数的广义积分 204

习题5.6 207

5.7 广义积分的审敛法Γ函数 208

5.7.1 无穷限广义积分的审敛法 208

5.7.2 无界函数的广义积分的审敛法 211

5.7.3 Γ函数 212

习题5.7 214

第6章 定积分的应用 215

6.1 定积分的元素法 215

6.2 定积分在几何上的应用 216

6.2.1 平面图形的面积 216

6.2.2 平行截面面积已知的立体的体积 220

6.2.3 旋转体的体积 222

6.2.4 平面曲线的弧长 225

6.2.5 定积分应用部分的综合题 226

习题6.2 227

6.3 定积分在物理上的应用 229

6.3.1 液体的侧压力问题 229

6.3.2 变力做功的问题 230

6.3.3 其他应用问题 231

习题6.3 232

第7章 空间解析几何与向量代数 234

7.1 向量及其线性运算 234

7.1.1 空间直角坐标系 234

7.1.2 向量的线性运算 236

7.1.3 向量的坐标表示 237

习题7.1 240

7.2 向量的乘积 241

7.2.1 向量的数量积 241

7.2.2 向量的向量积 243

7.2.3 向量的混合积 246

习题7.2 247

7.3 平面及其方程 247

7.3.1 平面的点法式方程 247

7.3.2 平面的一般式方程 249

7.3.3 点到平面的距离 251

习题7.3 252

7.4 空间直线及其方程 252

7.4.1 直线的方程 252

7.4.2 直线和直线的位置关系 254

7.4.3 平面束方程 257

习题7.4 258

7.5 空间曲面及其方程 259

7.5.1 球面 259

7.5.2 旋转面 259

7.5.3 柱面 261

7.5.4 二次曲面 263

习题7.5 265

7.6 空间曲线及其方程 265

7.6.1 空间曲线的一般方程 265

7.6.2 空间曲线的参数方程 266

7.6.3 空间曲面在坐标平面上的投影区域 267

习题7.6 270

习题参考答案 271

附录Ⅰ 几种常用的曲线 303

附录Ⅱ 积分表 306