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第1章 复数与扩充复平面 1

1.1 复数及其代数运算 1

1.1.1 复数与共轭复数 1

1.1.2 复数的四则运算 2

1.2 复数的几何表示与复平面 2

1.2.1 复数与复平面 2

1.2.2 复数的模与辐角 3

1.2.3 复数的各种表示 4

1.3 复数的乘幂与方根 5

1.3.1 复数乘法、除法的几何意义 5

1.3.2 复数的乘幂 7

1.3.3 复数的方根 7

1.4 无穷远点、扩充复平面和复球面 9

1.4.1 扩充复平面与复球面 9

1.4.2 关于无穷远点运算的规定 9

1.5 区域 10

1.5.1 区域的概念 10

1.5.2 单连通区域与多连通区域 10

1.5.3 无穷远点的邻域 11

1.6 复数关于圆周的对称点 11

习题1 12

第2章 复变函数与解析函数 14

2.1 复变函数的极限与连续 14

2.1.1 复数列的极限 15

2.1.2 复变函数在一点的极限 15

2.1.3 复变函数的连续性 17

2.2 复变函数的可导与可微 18

2.2.1 复变函数导数的定义 18

2.2.2 可导与连续 19

2.2.3 求导法则 19

2.2.4 可导与可微 19

2.3 解析函数及函数解析的充要条件 20

2.3.1 解析函数的定义 20

2.3.2 解析函数的充要条件 22

2.3.3 形式导数 25

2.4 初等解析函数 26

2.4.1 指数函数 26

2.4.2 对数函数 27

2.4.3 幂函数 28

2.4.4 三角函数 29

2.4.5 反三角函数 30

习题2 31

第3章 复变函数沿有向曲线的积分 33

3.1 复变函数沿有向曲线积分的概念、性质与计算 34

3.1.1 复积分的定义 34

3.1.2 复积分存在的条件与计算 34

3.1.3 复积分的性质 36

3.2 Cauchy-Goursat基本定理与复合闭路原理 37

3.2.1 Cauchy Goursat基本定理 37

3.2.2 复合闭路定理 39

3.3 Cauchy积分公式 41

3.4 解析函数的高阶求导公式、Liouville定理 43

3.4.1 高阶求导公式 44

3.4.2 Liouville定理 46

3.5 原函数与不定积分 47

3.5.1 原函数与不定积分 47

3.5.2 Morera定理 50

3.6 解析函数与调和函数 50

习题3 52

第4章 级数 55

4.1 复数项级数的概念与性质 55

4.1.1 复数项级数的定义 55

4.1.2 复数项级数的判敛 56

4.2 幂级数 58

4.2.1 幂级数的概念 58

4.2.2 收敛圆与收敛半径 59

4.2.3 收敛半径的求法 60

4.2.4 幂级数的运算 63

4.2.5 幂级数的和函数在收敛圆内的性质 64

4.3 Taylor展开定理 65

4.3.1 Taylor级数 65

4.3.2 求解析函数Taylor展开式的方法 68

4.3.3 综合例题 70

4.4 解析函数的唯一性定理及最大模原理 71

4.4.1 解析函数零点的孤立性 71

4.4.2 唯一性定理 72

4.4.3 最大模原理 73

4.5 Laurent级数 74

4.5.1 Laurent级数的定义 75

4.5.2 Laurent级数在收敛圆环域内的性质 76

4.5.3 Laurent展开定理 76

4.5.4 Laurent展开定理的应用 81

习题4 83

第5章 奇点与留数 86

5.1 解析函数的奇点分类 86

5.1.1 解析函数的奇点分类 86

5.1.2 可去奇点 88

5.1.3 极点 89

5.1.4 本性奇点 91

5.1.5 解析函数在无穷远点的性态 91

5.2 留数 93

5.2.1 留数的定义及留数定理 93

5.2.2 极点处的留数计算规则 94

5.2.3 无穷远点的留数 96

5.3 留数在定积分计算中的应用 99

5.3.1 类型Ⅰ——形如∫？R（cosθ,sinθ）dθ的积分 99

5.3.2 类型Ⅱ——形如∫？R（x）dx的积分 100

5.3.3 类型Ⅲ——形如∫？R（x）eaixxdx（a＞0）的积分 102

5.3.4 其他例子 103

5.4 对数留数与辐角原理 105

5.4.1 对数留数与辐角原理 106

5.4.2 Rouché定理 107

习题5 110

第6章 共形映射 112

6.1 共形映射 112

6.1.1 平面曲线的切线 112

6.1.2 解析函数导数的几何意义 113

6.1.3 共形映射的概念 115

6.2 分式线性映射 115

6.2.1 分式线性映射的定义及分解 115

6.2.2 分式线性映射的保角性 116

6.2.3 分式线性映射的保圆性 117

6.2.4 分式线性映射的保对称性 118

6.2.5 分式线性映射的保交比性 118

6.2.6 分式线性映射的应用举例 119

6.3 几个初等函数构成的映射 121

6.3.1 幂函数与根式函数构成的映射 121

6.3.2 指数函数与对数函数构成的映射 123

习题6 124

习题答案与提示 126