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第1章　几何空间中的向量 1

1.1　数域与2阶、3阶行列式 1

1.1.1　数域 1

1.1.2　2阶行列式 3

1.1.3　3阶行列式 5

1.2　向量及其线性运算 8

1.2.1　向量的基本概念 8

1.2.2　向量的线性运算 9

1.2.3　共线向量与共面向量 12

1.3.1　仿射坐标系 15

1.3　空间坐标系 15

1.3.2　空间直角坐标系 17

1.3.3　向量运算的坐标表示 19

1.3.4　向量在轴上的投影 21

1.4　向量的数量积、向量积与混合积 22

1.4.1　向量的数量积 22

1.4.2　向量的向量积 25

1.4.3　向量的混合积 27

1.5　平面的方程 30

1.5.1　平面方程 30

1.5.2　两平面的位置关系 33

1.5.3　两平面的夹角 34

1.6　空间直线及其方程 36

1.6.1　直线方程 36

1.6.2　两直线的位置关系 38

1.6.3　直线与平面的位置关系 40

1.6.4　两直线的夹角及直线与平面的夹角 41

1.6.5　点到直线的距离及两直线之间的距离 42

习题1 45

第2章　行列式 49

2.1引言 49

2.2.1　排列与逆序 50

2.2　n元排列 50

2.2.2　排列的奇偶性 51

2.3　n阶行列式 53

2.3.1　n阶行列式的定义 53

2.3.2　行列式的计算（1） 55

2.4　n阶行列式的性质 57

2.4.1　行列式的性质 57

2.4.2　行列式的计算（2） 61

2.5　行列式按一行（列）展开 65

2.5.1　展开公式 65

2.5.2　行列式的计算（3） 68

2.6　拉普拉斯（Laplace）定理 73

2.7　克拉默（Cramer）法则 76

习题2 82

第3章　矩阵 87

3.1　高斯（Gauss）消元法及矩阵表示 87

3.1.1　高斯消元法（Gausselimination） 87

3.1.2　矩阵表示 89

3.1.3　一般情形 91

3.2　矩阵及其初等变换 94

3.2.1　矩阵的概念 94

3.2.2　矩阵应用实例 96

3.2.3　矩阵的初等变换 98

3.3　矩阵的运算 100

3.3.1　矩阵的加法 100

3.3.2　矩阵的数乘 101

3.3.3　矩阵的乘法 101

3.3.4　矩阵的转置 106

3.3.5　矩阵的共轭 108

3.4　方阵的逆矩阵 108

3.4.1　方阵的行列式 108

3.4.2　可逆矩阵及其性质 110

3.4.3　矩阵可逆的条件 111

3.5.1　分块矩阵的概念 115

3.5　分块矩阵 115

3.5.2　分块矩阵的运算 117

3.5.3　分块矩阵的逆矩阵 119

3.6　初等变换与初等矩阵 122

3.6.1　初等矩阵 122

3.6.2　利用初等变换求逆矩阵 126

3.6.3　分块矩阵的初等变换 128

习题3 130

第4章　n维向量空间 134

4.1n维向量及其运算 134

4.1.1　n维向量 134

4.1.2　向量的运算及其性质 135

4.1.3　n维向量空间 137

4.1.4　线性组合与线性表示 138

4.2　线性相关性 139

4.2.1　线性相关与线性无关 140

4.2.2　线性相关性的刻画 141

4.2.3　线性相关性的判断 142

4.3　向量组的秩 146

4.3.1　向量组的等价 146

4.3.2　极大线性无关组 147

4.3.3　向量组的秩、维数与基 149

4.4.1　行秩、列秩与矩阵的秩 151

4.4　矩阵的秩 151

4.4.2　秩的性质与求法 154

4.4.3　矩阵的秩与行列式的关系 155

4.5　齐次线性方程组 157

4.5.1　齐次线性方程组有非零解的条件 157

4.5.2　齐次线性方程组的解的结构 158

4.6　非齐次线性方程组 162

4.6.1　非齐次线性方程组有解的条件 162

4.6.2　非齐次线性方程组的解的结构 163

习题4 166

5.1.1　线性空间的概念 172

5.1　线性空间及其性质 172

第5章　线性空间与线性变换 172

5.1.2　简单性质 174

5.1.3　线性子空间 175

5.2　基、维数和坐标 176

5.2.1　线性空间的基、维数和坐标 176

5.2.2　基变换与坐标变换 179

5.3　线性变换及其性质 185

5.3.1　线性变换定义 185

5.3.2　线性变换的简单性质 187

5.3.3　线性变换的运算 188

5.4.1　线性变换在一组基下的矩阵 189

5.4　线性变换的矩阵 189

5.4.2　向量的象的坐标 192

5.5　欧几里得（Euclid）空间 195

5.5.1　内积 195

5.5.2　标准正交基 199

5.5.3　施密特（Schmidt）正交化 201

5.5.4　正交矩阵与正交变换 204

习题5 . 206

第6章　矩阵的对角化问题 212

6.1　特征值与特征向量 212

6.1.1　特征值与特征向量的基本概念 212

6.1.2　特征值与特征向量的求法 214

6.1.3　特征值与特征向量的性质 220

6.2　相似矩阵 222

6.2.1　线性变换在不同基下的矩阵 222

6.2.2　相似矩阵的性质 224

6.2.3　线性变换的特征值与特征向量 226

6.3　矩阵可对角化的条件 229

6.3.1　可对角化条件 229

6.3.2　特征向量的线性无关性质 231

6.3.3　举例 234

6.4.1　实对称矩阵的特征值与特征向量 238

6.4　实对称矩阵的对角化 238

6.4.2　实对称矩阵对角化的方法 241

6.5　若尔当标准形简介 245

习题6 248

第7章　空间曲面与曲线 251

7.1　曲面及其方程 251

7.1.1　曲面和曲线的一般方程 251

7.1.2　球面方程 252

7.1.3　柱面 254

7.1.4　锥面 256

7.1.5　旋转面 257

7.2　二次曲面 260

7.2.1　椭球面 261

7.2.2　单叶双曲面 262

7.2.3　双叶双曲面 264

7.2.4　椭圆抛物面 265

7.2.5　双曲抛物面 266

7.3　空间曲线 267

7.3.1　空间曲线的方程 267

7.3.2　空间曲线在坐标面上的投影 269

7.3.3　曲面所围成区域的画法 271

习题7 272

8.1.1　二次型 274

第8章　二次型 274

8.1　二次型及其矩阵表示 274

8.1.2　非退化线性替换 277

8.1.3　矩阵的合同 279

8.2　二次型的标准形 281

8.2.1　配方法 281

8.2.2　初等变换法 285

8.2.3　正交替换法 289

8.3　惯性定理和规范形 293

8.3.1　惯性定理 293

8.3.2　实二次型的规范形 295

8.3.3　复二次型的规范形 297

8.4　实二次型的正定性 298

8.4.1　正定二次型 298

8.4.2　正定矩阵 299

8.4.3　其他类型的实二次型 304

8.5　二次曲面的分类 306

习题8 312

习题答案 315

名词索引（汉英对照，按拼音） 329

名词索引（英汉对照） 337

参考书目 345