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第1章 线性方程组与矩阵 1

1.1引言 1

1.2线性方程组 2

1.2.1线性方程组的相关概念 2

1.2.2线性方程组的同解变换 3

1.3矩阵 6

1.3.1矩阵的概念 6

1.3.2矩阵问题的例子 9

1.4矩阵的初等变换与线性方程组的求解 12

1.4.1矩阵初等变换的定义 12

1.4.2用初等变换求解线性方程组的例子 13

习题一 17

第2章 矩阵的运算 19

2.1矩阵的线性运算 19

2.1.1矩阵的加法 19

2.1.2数与矩阵相乘 21

2.2矩阵的乘法 22

2.2.1引例 22

2.2.2矩阵乘法的定义 23

2.2.3矩阵乘法的运算性质 26

2.3矩阵的转置 30

2.4分块矩阵 32

2.4.1分块矩阵的定义 32

2.4.2分块矩阵的运算 32

2.4.3几种特殊的分块方法与分块矩阵 34

2.5可逆矩阵 37

2.5.1可逆矩阵的概念与性质 38

2.5.2初等变换与矩阵求逆 38

习题二 44

第3章 方阵的行列式 47

3.1二、三阶行列式 47

3.2n阶行列式的定义 49

3.3行列式的性质 51

3.3.1基本性质 51

3.3.2行列式的初等变换 53

3.3.3方阵乘积的行列式 56

3.3.4几种常用的计算方法 61

3.4行列式的应用 64

3.4.1求可逆矩阵的逆矩阵 64

3.4.2线性方程组的公式解 67

附录 70

习题三 73

第4章 线性方程组解的理论 76

4.1 n维向量及其运算 76

4.2向量组的线性相关性 79

4.2.1线性表示与等价 79

4.2.2线性相关与线性无关 81

4.2.3线性相关性的判定定理 84

4.3向量组的秩 87

4.3.1极大线性无关组 87

4.3.2向量组的秩及其性质 89

4.3.3矩阵的行秩与列秩 89

4.3.4矩阵秩的定义 92

4.3.5矩阵秩的若干性质 93

4.3.6定理4.7的应用举例 96

4.4向量空间 97

4.4.1向量空间的概念 97

4.4.2基、维数和坐标 99

4.5线性方程组有解的条件 101

4.6线性方程组解的结构 106

4.6.1齐次线性方程组的解空间 106

4.6.2非齐次线性方程组解的结构 111

附录 113

习题四 115

第5章 方阵的特征值、特征向量和对角化 119

5.1方阵的特征值与特征向量 119

5.1.1引例 119

5.1.2特征值与特征向量的定义 120

5.1.3特征值存在的条件及基本性质 121

5.1.4特征值与特征向量的求法 124

5.2方阵的相似与对角化 126

5.2.1相似矩阵及其性质 126

5.2.2方阵的对角化 127

5.2.3可对角化矩阵方幂的简单求法 133

5.3实向量的内积 134

5.3.1向量内积的概念 134

5.3.2正交向量组 136

5.3.3 Schmidt正交化 137

5.4实对称矩阵的对角化 139

5.4.1复数的概念和性质 139

5.4.2实对称矩阵的特征值 139

5.4.3实对称矩阵的对角化 140

附录 142

习题五 143

第6章 二次型 146

6.1二次型及其矩阵表示 146

6.2二次型的标准形 148

6.2.1二次型的变量替换 148

6.2.2矩阵的合同 149

6.2.3合同变换法 150

6.2.4配方法举例 152

6.3化实二次型为标准形和规范形 154

6.3.1用正交变换化实二次型为标准形 154

6.3.2实二次型的规范形 157

6.4正定二次型及判定定理 158

附录 160

习题六 163

习题答案 165

参考文献 173