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第1章 行列式 1

1.1 二阶与三阶行列式 1

1.1.1 二阶行列式的定义 1

1.1.2 三阶行列式的定义 3

1.1.3 用二阶行列式表示三阶行列式 5

1.2 n阶行列式及其性质 7

1.2.1 n阶行列式的定义 7

1.2.2 行列式的性质 10

1.2.3 拉普拉斯定理 15

1.3 行列式的计算 18

1.4 克拉默法则 34

第2章 矩阵及矩阵的初等变换 44

2.1 矩阵及其运算 44

2.1.1 矩阵的定义 44

2.1.2 几种特殊的矩阵 46

2.1.3 矩阵的运算 48

2.1.4 方阵的行列式 58

2.2 矩阵的初等变换与矩阵的秩 60

2.2.1 矩阵的初等变换 60

2.2.2 矩阵的秩 65

2.2.3 线性方程组解的判定 69

2.3 初等矩阵与逆矩阵 74

2.3.1 初等矩阵 74

2.3.2 矩阵的逆 76

2.3.3 用初等变换法求逆矩阵 80

2.4 分块矩阵 87

2.4.1 分块矩阵的概念 87

2.4.2 分块矩阵的运算 95

第3章 向量组的线性相关性 101

3.1 n维向量及其运算 101

3.1.1 n维向量的概念及运算 101

3.1.2 n维向量的内积 103

3.2 向量组的线性相关性 105

3.2.1 向量组及其线性组合 105

3.2.2 向量组的线性相关性及其判定 107

3.3 向量组的秩 113

3.3.1 向量组的等价 113

3.3.2 向量组的极大线性无关组 113

3.3.3 向量组的秩 114

3.3.4 极大线性无关组和秩的求法 115

3.3.5 向量的线性表示与向量组秩的关系 117

3.4 向量空间 119

3.4.1 向量空间的概念 119

3.4.2 向量空间的基与维数 120

3.4.3 向量在给定基下的坐标 122

3.4.4 基变换与坐标变换 123

3.4.5 线性变换及其矩阵表示式 125

3.5 向量组的正交化与正交矩阵 128

3.5.1 向量组的正交化 128

3.5.2 向量组的正交化方法 129

3.5.3 正交矩阵 130

第4章 线性方程组 137

4.1 齐次线性方程组 137

4.1.1 齐次线性方程组的基本概念 137

4.1.2 齐次线性方程组的性质 138

4.1.3 齐次线性方程组解的结构 139

4.1.4 齐次线性方程组的求解方法 140

4.2 非齐次线性方程组 150

4.2.1 非齐次线性方程组解的性质及解的结构 150

4.2.2 非齐次线性方程组的求解方法 151

第5章 矩阵的特征值问题与二次型 162

5.1 矩阵的特征值问题 162

5.1.1 矩阵的特征值与特征向量 162

5.1.2 特征值和特征向量的求法 163

5.1.3 特征值和特征向量的性质 166

5.2 矩阵的相似对角化 170

5.2.1 相似矩阵 170

5.2.2 方阵的对角化 171

5.2.3 方阵对角化的方法 173

5.2.4 方阵对角化在求矩阵乘幂中的应用 175

5.3 实对称矩阵的相似对角化 178

5.4 二次型及其标准化 183

5.4.1 二次型的概念 183

5.4.2 二次型的标准形 185

5.5 正定二次型 191

5.5.1 二次型的规范形 191

5.5.2 正定二次型 193

5.5.3 二次型在几何上的应用 196

部分习题参考答案 202