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第1章 函数与极限 1

1.1 函数——变量相依关系的数学模型 1

1.1.1 邻域 1

1.1.2 函数的概念及其表示方法 2

1.1.3 函数的性质 3

1.1.4 初等函数 6

练习与思考1-1 9

1.2 函数的极限——函数变化趋势的数学模型 10

1.2.1 函数极限的概念 10

1.2.2 极限的性质 14

练习与思考1-2 14

1.3 极限的运算 15

1.3.1 极限的运算法则 15

1.3.2 两个重要极限 16

练习与思考1-3 20

1.4 无穷小及其比较 20

1.4.1 无穷小与无穷大 21

1.4.2 无穷小与极限的关系 23

1.4.3 无穷小的比较与阶 23

练习与思考1-4 25

1.5 函数的连续性——函数连续变化的数学模型 26

1.5.1 函数的改变量——描述函数变化的方法 26

1.5.2 函数连续的概念 26

1.5.3 函数的间断点 28

1.5.4 初等函数的连续性 30

练习与思考1-5 31

1.6 数学实验（一） 32

1.7 数学建模（一）——初等模型 37

1.7.1 数学模型的概念 38

1.7.2 数学建模及其步骤 39

1.7.3 初等数学模型建模举例——有空气隔层的双层玻璃窗的节能分析 40

练习与思考1-7 43

本章小结 43

本章复习题 45

第2章 导数与微分 49

2.1 导数的概念——函数变化速率的数学模型 49

2.1.1 函数变化率的实例 50

2.1.2 导数的概念及其物理意义 52

2.1.3 导数的几何意义与曲线的切线和法线方程 55

练习与思考2-1 56

2.2 导数的运算（一） 56

2.2.1 函数四则运算的求导 56

2.2.2 复合函数及反函数的求导 58

练习与思考2-2 60

2.3 导数的运算（二） 60

2.3.1 二阶导数的概念及其计算 60

2.3.2 隐函数求导 61

2.3.3 参数方程所确定的函数求导 62

练习与思考2-3 63

2.4 微分——函数变化幅度的数学模型 63

2.4.1 微分的概念及其计算 63

2.4.2 微分作近似计算——函数局部线性逼近 66

2.4.3 一元方程的近似根 68

2.4.4 弧的微分与曲率 70

练习与思考2-4 72

本章小结 73

本章复习题 75

第3章 导数的应用 78

3.1 函数的单调性与极值 78

3.1.1 拉格朗日微分中值定理 78

3.1.2 函数的单调性 79

3.1.3 函数的极值 81

练习与思考3-1 84

3.2 函数的最值——函数最优化的数学模型 85

3.2.1 函数的最值 85

3.2.2 实践中的最优化问题举例 88

练习与思考3-2 92

3.3 一元函数图形的描绘 92

3.3.1 函数图形的凹凸性与拐点 92

3.3.2 函数图形的渐近线 95

3.3.3 一元函数图形的描绘 96

练习与思考3-3 99

3.4 罗必达法则——未定式计算的一般方法 99

3.4.1 柯西微分中值定理 99

3.4.2 罗必达法则 100

练习与思考3-4 105

3.5 数学实验（二） 105

3.6 数学建模（二）——最优化模型 111

3.6.1 磁盘最大存储量模型 111

3.6.2 易拉罐优化设计模型 112

练习与思考3-6 117

本章小结 118

本章复习题 120

第4章 定积分与不定积分及其应用 123

4.1 定积分——函数变化累积效应的数学模型 123

4.1.1 引例 123

4.1.2 定积分的定义 126

4.1.3 定积分的几何意义 127

4.1.4 定积分的性质 129

练习与思考4-1 130

4.2 微积分基本公式 130

4.2.1 引例 131

4.2.2 积分上限函数及其导数 132

4.2.3 微积分基本公式 134

练习与思考4-2 136

4.3 不定积分与积分计算（一） 136

4.3.1 不定积分概念与基本积分表 137

练习与思考4-3A 140

4.3.2 换元积分法 140

练习与思考4-3B 145

4.4 积分计算（二）与广义积分 146

4.4.1 分部积分法 146

练习与思考4-4A 148

4.4.2 定积分的近似积分法 149

4.4.3 广义积分 153

练习与思考4-4B 155

4.5 定积分的应用 155

4.5.1 微元法——积分思想的再认识 155

4.5.2 定积分在几何上的应用 156

练习与思考4-5A 162

4.5.3 定积分在物理方面的应用举例 163

练习与思考4-5B 164

4.6 二重积分 165

4.6.1 二元函数的概念 165

4.6.2 二重积分的概念和性质 167

4.6.3 二重积分的计算 170

4.6.4 二重积分的应用 178

练习与思考4-6 180

4.7 数学实验（三） 181

4.8 数学建模（三）——积分模型 187

4.8.1 第二宇宙速度模型 187

4.8.2 人口增长模型 189

练习与思考4-8 193

本章小结 194

本章复习题 197

第5章 线性代数初步 200

5.1 行列式 200

5.1.1 行列式的定义 201

5.1.2 行列式的性质与计算 203

5.1.3 克莱姆法则 206

练习与思考5-1 209

5.2 矩阵及其运算 209

5.2.1 矩阵的概念 209

5.2.2 矩阵的运算（一）：矩阵的加减、数乘、乘法 213

5.2.3 矩阵的初等变换 216

5.2.4 矩阵的运算（二）：逆矩阵 217

练习与思考5-2 222

5.3 线性方程组 222

5.3.1 矩阵的秩与线性方程组解的基本定理 223

5.3.2 线性方程组的求解 230

练习与思考5-3 234

5.4 数学实验（四） 235

5.5 数学建模（四）——线性代数模型 242

练习与思考5-5 246

本章小结 247

本章复习题 250

第6章 微分方程 253

6.1 一阶微分方程 253

6.1.1 微分方程的基本概念 253

6.1.2 一阶微分方程 256

练习与思考6-1 261

6.2 二阶可降阶微分方程 262

6.2.1 型如主y″＝f（x），y″＝f（x,y′），y″＝f（y,y′）的方程 262

6.2.2 应用举例 264

练习与思考6-2 266

6.3 二阶常系数线性微分方程 266

6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 267

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 268

6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 270

6.3.4 二阶常系数线性微分方程应用举例 272

练习与思考6-3 273

6.4 数学建模（五）——微分方程模型 274

6.4.1 微分方程模型的基本概念 274

6.4.2 放射性废料处理模型 277

6.4.3 船舶渡河路线模型 282

练习与思考6-4 287

本章小结 287

本章复习题 288

第7章 拉普拉斯变换 290

7.1 拉普拉斯变换的概念 290

7.1.1 拉普拉斯变换的概念与性质 290

7.1.2 常见函数的拉普拉斯变换 295

练习与思考7-1 297

7.2 拉普拉斯逆变换及其求法 297

练习与思考7-2 301

7.3 拉普拉斯变换的应用 301

7.3.1 求解微分方程 301

7.3.2 线性系统问题 303

练习与思考7-3 304

本章小结 304

本章复习题 307

第8章 无穷级数 308

8.1 无穷级数的概念 309

8.1.1 无穷级数及其收敛与发散的概念 309

8.1.2 无穷级数的性质 311

8.1.3 常数项级数 312

练习与思考8-1 316

8.2 幂级数与多项式逼近 316

8.2.1 幂级数及其收敛区间 316

8.2.2 幂级数的性质 319

8.2.3 函数展开成泰勒级数 321

8.2.4 多项式逼近及其应用 326

练习与思考8-2 328

8.3 傅立叶级数 329

8.3.1 三角级数、三角函数的正交性 329

8.3.2 函数展开成傅立叶级数 330

8.3.3 正弦级数与余弦级数 335

练习与思考8-3 337

8.4 数学实验（五） 337

本章小结 345

本章复习题 348

附录一 常用数学公式 350

附录二 参考答案 358