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第一篇 微积分 1

第一章 函数·极限·连续 1

1.1 函数 1

1.2 极限·连续 3

题型一 关于“抓大头” 5

题型二 关于无穷小 5

题型三 关于洛必达法则 8

题型四 关于“1∞”型极限 11

题型五 关于数列极限 13

题型六 关于夹逼定理 14

题型七 关于单调有界序列 16

题型八 关于用定积分求极限 18

题型九 关于左、右极限 19

题型十 求极限表达式中的未知参数 21

题型十一 利用拉格朗日中值定理或泰勒公式计算极限 22

题型十二 关于在x=x0的连续性及间断点 25

题型十三 关于重要定理的证明 27

习题一 28

第二章 导数与微分 32

2.1 导数的定义 32

2.2 基本求导公式及求导运算法则 38

题型一 分段函数求导 39

题型二 复合函数求导 41

题型三 隐函数求导及参数方程求导 43

题型四 反函数求导 45

题型五 对上限变量求导 46

2.3 高阶导数 47

题型一 使用归纳法求高阶导数 48

题型二 间接法 49

题型三 利用莱布尼兹公式求高阶导数 50

题型四 利用幂级数展开（或泰勒公式）求f（n）（0） 51

习题二 51

第三章 积分 55

3.1 不定积分 55

题型一 三角替换 66

题型二 指数代换及简单根式的不定积分 68

习题三（1） 74

3.2 定积分 76

习题三（2） 96

3.3 广义积分 99

习题三（3） 103

第四章 中值定理 104

4.1 闭区间上连续函数的性质 104

4.2 微分中值定理 108

题型一 验证中值定理正确性 108

题型二 利用罗尔定理证明零点的存在性 109

题型三 利用连续性、极值、单调性证明函数存在零点，并确定零点个数 112

题型四 证明二个中值ζ、η的等式及恒等式 114

4.3 泰勒公式 116

题型一 将函数麦克劳林展开或泰勒展开 117

题型二 利用泰勒展开证明等式及不等式 119

4.4 积分中值定理 122

4.5 关于中值位置的讨论 124

4.6 本章中重要定理的证明 126

习题四 128

第五章 一元微积分的应用 131

5.1 导数与切线 131

5.2 单调性、凹凸性 134

5.3 渐近线、极值与最值 137

5.4 不等式 142

题型一 利用单调性证明不等式 142

题型二 用中值定理证明不等式 145

题型三 用凹凸性证明不等式 146

题型四 用极值最值证明不等式 147

题型五 其他不等式 148

习题五（1） 152

5.5 几何应用 155

5.6 一元微积分在经济方面的应用 159

习题五（2） 162

第六章 常微分方程 166

6.1 常微分方程的基本概念 166

6.2 一阶微分方程 167

题型一 可分离变量方程 167

题型二 一阶齐次方程 167

题型三 一阶线性方程 169

题型四 将变上限积分方程转化成一阶微分方程 174

6.3 常系数一阶线性差分方程 175

6.4 二阶常系数线性微分方程 177

6.5 常微分方程的应用 182

习题六 183

第七章 多元函数微分学 187

7.1 函数、极限、连续 187

7.2 偏导数与全微分 190

题型一 求多元复合函数的偏导数及全微分 193

题型二 隐函数求导 194

题型三 利用变量替换将方程变形 197

题型四 利用偏导数或全微分确定常数或函数 199

7.3 极值与最值 200

题型一 无条件极值 201

题型二 条件极值 203

7.4 本章中重要定理的证明 205

习题七 206

第八章 二重积分 210

题型一 交换积分次序 211

题型二 选择适当坐标系计算二重积分 213

题型三 对称性 215

题型四 分区域积分 219

题型五 其他 220

习题八 222

第九章 级数 225

9.1 数项级数 225

9.2 幂级数 235

题型一 收敛半径与收敛区域 236

题型二 函数展开成幂级数 239

题型三 用逐项求导、逐项求积分方法求幂级数的和函数 243

题型四 幂级数与微分方程 244

题型五 数项级数求和 246

习题九 249

第二篇 线性代数 254

第一章 行列式 254

题型一 低阶行列式的计算 256

题型二 n阶行列式的计算 260

题型三 应用行列式与方阵相关性质计算行列式 266

题型四 克莱姆法则 271

习题一 272

第二章 矩阵 276

题型一 矩阵的基本运算 280

题型二 求方阵的高次幂 285

题型三 初等变换与初等矩阵 287

题型四 逆矩阵 289

题型五 矩阵方程 294

习题二 297

第三章 向量 302

题型一 向量组的线性表示 304

题型二 向量组的极大线性无关组，向量组的秩与矩阵的秩 311

习题三 315

第四章 线性方程组 318

题型一 有关解的性质及结构 319

题型二 求解线性方程组 321

题型三 求方程组中的参数 326

题型四 二个方程组的公共解 329

题型五 证明题 332

习题四 334

第五章 相似矩阵与二次型 340

题型一 矩阵的特征值与特征向量 344

题型二 相似矩阵 350

题型三 可相似对角化问题 354

题型四 实对称矩阵相似对角化问题 357

题型五 相似对角化对于矩阵高次幂的应用 360

题型六 二次型化标准型 362

题型七 正定二次型与正定矩阵 369

习题五 372

第三篇 概率论与数理统计 378

第一章 随机事件与概率 378

题型一 事件的运算与概率的性质 381

题型二 古典概型与几何概型的计算 382

题型三 条件概率、乘法公式与事件的独立性 385

题型四 全概公式与贝叶斯公式 390

题型五 n重贝努利试验 392

习题一 394

第二章 随机变量 398

2.1 一维随机变量 398

题型一 分布函数、概率密度及离散型随机变量的分布律 401

题型二 利用重要分布求概率 407

题型三 随机变量函数的分布 412

2.2 二维随机变量 418

题型一 二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及独立性 422

题型二 二维随机变量函数的分布 427

习题二 432

第三章 随机变量的数字特征 438

题型一 一维随机变量的数字特征 440

题型二 二维随机变量函数数学期望与方差 448

题型三 协方差、相关系数及独立性 451

题型四 应用题 455

习题三 458

第四章 大数定律及中心极限定理 461

题型一 关于切比雪夫不等式 462

题型二 关于中心极限定理 463

习题四 464

第五章 数理统计 466

5.1 数理统计基本概念 466

5.2 点估计 473

题型一 矩估计与最大似然估计 473

习题五 476