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第8章 空间解析几何与向量代数 1

本章学习目标 1

8.1 空间直角坐标系与向量的概念 1

8.1.1 空间直角坐标系 1

8.1.2 向量的概念及其线性运算 4

8.1.3 向量的坐标表示 6

习题8.1 9

8.2 向量的数量积与向量积 9

8.2.1 向量的数量积 9

8.2.2 两向量的向量积 11

习题8.2 13

8.3 平面及其方程 13

8.3.1 平面的点法式方程 13

8.3.2 平面的一般式方程 15

8.3.3 平面的截距式方程 17

习题8.3 18

8.4 空间直线及其方程 18

8.4.1 直线的一般式方程 18

8.4.2 直线的点向式方程与参数方程 18

8.4.3 平面、直线的位置关系 21

8.4.4 综合举例 23

习题8.4 24

8.5 曲面及其方程 25

8.5.1 曲面方程的概念 25

8.5.2 球面 25

8.5.3 柱面 26

8.5.4 旋转曲面 28

8.5.5 几种常见的二次曲面 29

习题8.5 34

8.6 空间曲线 35

8.6.1 空间曲线的一般方程 35

8.6.2 空间曲线的参数方程 35

8.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 37

习题8.6 38

本章小结 38

复习题8 38

自测题8 39

第9章 多元函数微分学及其应用 41

本章学习目标 41

9.1 多元函数的概念、极限及连续 41

9.1.1 平面点集及区域 41

9.1.2 多元函数的概念 42

9.1.3 多元函数的极限 44

9.1.4 多元函数的连续 45

习题9.1 47

9.2 偏导数 47

9.2.1 偏导数的概念及其计算方法 48

9.2.2 高阶偏导数 50

习题9.2 52

9.3 全微分 52

习题9.3 54

9.4 多元复合函数求导法则 54

习题9.4 58

9.5 隐函数的求导公式 58

9.5.1 一元隐函数的求导公式 58

9.5.2 二元隐函数的求导公式 59

习题9.5 59

9.6 多元函数微分学在几何上的应用 60

9.6.1 空间曲线的切线与法平面 60

9.6.2 曲面的切平面与法线 63

习题9.6 65

9.7 多元函数的极值与最值 65

9.7.1 多元函数的极值 65

9.7.2 多元函数的最值 67

9.7.3 条件极值拉格朗日乘数法 69

习题9.7 71

本章小结 72

复习题9 72

自测题9 73

第10章 重积分 74

本章学习目标 74

10.1 二重积分的概念与性质 74

10.1.1 二重积分的概念 74

10.1.2 二重积分的性质 78

习题10.1 79

10.2 二重积分的计算 80

10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 80

10.2.2 二重积分在极坐标系下的计算 86

习题10.2 89

10.3 三重积分 91

10.3.1 引例 91

10.3.2 三重积分的概念 91

10.3.3 三重积分的计算 92

习题10.3 98

10.4 重积分的应用 99

10.4.1 立体的体积 99

10.4.2 曲面的面积 101

10.4.3 质心 102

10.4.4 转动惯量 103

习题10.4 104

本章小结 104

复习题10 105

自测题10 105

第11章 曲线积分与曲面积分 107

本章学习目标 107

11.1 对弧长的曲线积分 107

11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 107

11.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 109

习题11.1 112

11.2 对坐标的曲线积分 113

11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 113

11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 116

11.2.3 两类曲线积分之间的联系 119

习题11.2 120

11.3 格林公式及其应用 121

11.3.1 格林公式 121

11.3.2 平面曲线积分与路径无关的定义与条件 127

习题11.3 133

11.4 对面积的曲面积分 135

11.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 135

11.4.2 对面积的曲面积分的计算法 136

习题11.4 139

11.5 对坐标的曲面积分 139

11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 139

11.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 144

11.5.3 两类曲面积分之间的联系 146

习题11.5 148

11.6 高斯公式 148

11.6.1 高斯公式 148

11.6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 150

习题11.6 151

11.7 斯托克斯公式 152

11.7.1 斯托克斯公式 152

11.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 154

习题11.7 155

本章小结 156

复习题11 157

自测题11 158

第12章 级数 160

本章学习目标 160

12.1 常数项级数的概念与性质 160

12.1.1 常数项级数的概念 160

12.1.2 常数项级数的性质 162

习题12.1 164

12.2 常数项级数的敛散性 165

12.2.1 正项级数及其审敛法 165

12.2.2 交错级数及其审敛法 170

12.2.3 绝对收敛与条件收敛 170

习题12.2 172

12.3 幂级数 173

12.3.1 函数项级数的概念 173

12.3.2 幂级数及其收敛性 174

12.3.3 幂级数的运算 177

习题12.3 179

12.4 函数展开成幂级数 180

12.4.1 泰勒级数 180

12.4.2 函数展开成幂级数 182

习题12.4 186

12.5 傅里叶级数 186

12.5.1 三角级数 187

12.5.2 函数展开成傅里叶级数 187

12.5.3 正弦级数与余弦级数 192

12.5.4 周期为2l的周期函数展开成傅里叶级数 197

习题12.5 199

本章小结 200

复习题12 202

自测题12 204

附录1 积分表 207

附录2 习题参考答案 215

参考文献 230