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第一部分 数学语言 1

第一章 描述性集合论 3

1.1 集合的概念 3

1.2 包含 4

1.3 维恩图 5

1.4 相等 5

1.5 幂集 6

1.6 并与交 7

1.7 补集 10

1.8 量词 12

第二章 函数：描述性理论 15

2.1 函数的概念 15

2.2 函数的相等 16

2.3 象 17

2.4 单射、满射和等价 17

2.5 例题 18

2.6 符号和语言的泛用 20

2.7 函数的复合 22

2.8 单射、满射和等价的复合 23

2.9 反演定理 23

2.10 等价集 26

2.11 计数 26

第三章 笛卡儿积 30

3.1 序对和乘积 30

3.2 代数性质 31

3.3 函数的图象 33

3.4 再论函数的概念 33

3.5 再论序对 35

3.6 乘法系统 36

第四章 关系 39

4.1 什么是关系 39

4.2 RST条件 40

4.3 线状图 40

4.4 序关系 41

4.5 等价关系 43

4.6 划分 46

4.7 商映射 46

第五章 数学归纳法 49

5.1 物理的和数学的归纳法 49

5.2 一个坏习惯 50

5.3 归纳定义法 51

第二部分 集合论续 57

第六章 函数的集合 59

6.1 集合BA 59

6.2 BA的映射 60

6.3 当＃B=2的情形 63

6.4 乱排、排列和集Ⅰ(A,B) 64

6.5 组合 67

6.6 集S(A,B) 68

第七章 计数和超限算术 71

7.1 计数 71

7.2 超限算术 73

7.3 超限算术里的序关系 75

7.4 选择公理 77

第八章 集合代数和命题演算 83

8.1 集合代数 83

8.2 B－代数 87

8.3 命题演算 90

8.4 发展为更一般的公式 92

8.5 蕴涵和演绎法 94

第三部分 算术 98

第九章 交换环和域 99

9.1 作为代数系统的整数集 99

9.2 环 100

9.3 推论 101

9.4 子环 102

9.5 交换群 103

9.6 域 105

第十章 模m的算术 110

10.1 剩余类和环Zm 110

10.2 Zm的理论 112

10.3 欧拉函数 114

10.4 同余式的解 115

第十一章 具有整范数的环 118

11.1 整范数 118

11.2 例题 119

11.3 欧几里得整环内的因子分解 121

11.4 理想 122

11.5 HCF 124

11.6 欧几里得演段 126

11.7 LCM 128

第十二章 分解质因数 130

12.1 质数 130

12.2 不可约和质数 131

12.3 质因数分解的存在和唯一性 132

12.4 在Z[x]内分解因式 134

第十三章 HCF理论的应用 137

13.1 部分分式 137

13.2 连分式 140

第四部分 R3中的几何 143

第十四章 R3的向量几何 145

14.1 向量空间R3 145

14.2 线性相关；基 148

14.3 直线的方程 149

14.4 长度 150

14.5 球 151

14.6 射影 151

14.7 向量 152

14.8 数量积 154

14.9 平面 155

14.10 向量积 158

14.11 体积 160

第十五章 线性代数和R3内的测度 162

15.1 矩阵和行列式 162

15.2 三个线性方程 165

15.3 线性变换 168

附录：长度和面积 175

15.4 路径 176

15.5 可求长性 177

15.6 约当弧和约当曲线 180

15.7 面积 181

15.8 多边形 182

15.9 α的性质 183

15.10 曲线边界 185

15.11 格 187

15.12 ？A与？相关 188

第十六章 几何的逻辑 191

16.1 希腊的哲学及其它 191

16.2 希尔伯特 192

16.3 教学法 193

16.4 R3的一个代数模型 193

16.5 性能指标 197

16.6 证明的方案 198

16.7 证明 199

16.8 平行与垂直 201

第十七章 射影几何 204

17.1 广告 204

17.2 透视 204

17.3 平面射影几何 205

17.4 对偶性 206

17.5 ？(R)几何 208

17.6 与R2的关系 211

17.7 圆锥曲线 211

17.8 RP2的模型 214

17.9 将？(R)嵌入？(C) 216

17.10 在R3内的射影 218

17.11 不变量，爱尔朗根纲领 220

第五部分 代数 224

第十八章 群 226

18.1 群的概念 226

18.2 群的定义 227

18.3 指数；子群 230

18.4 群的生成元 231

18.5 子群 234

18.6 群的同态 235

18.7 同构 237

18.8 核与象 239

18.9 子群、商空间和商群 240

18.10 环 243

第十九章 向量空间和线性方程 244

19.1 原始定义 244

19.2 基 246

19.3 子空间 248

19.4 同态：矩阵 249

19.5 线性变换的秩 253

19.6 线性方程 254

第二十章 内积空间和对偶性 258

20.1 数量积；距离 258

20.2 V内的几何 260

20.3 正交性 262

20.4 对偶性 263

20.5 正交变换 266

第二十一章 不等式和布尔代数 267

21.1 不等式 267

21.2 某些应用 269

21.3 戴德金的有理数的完备性 272

21.4 布尔代数 274

21.5 将一布尔代数排序 276

21.6 同态 278

第二十二章 n次多项式和n次方程 280

22.1 多项式的形式 280

22.2 代换 282

22.3 余式定理 283

22.4 多项式函数 285

22.5 实和复的多项式 286

22.6 求导 287

22.7 多项式方程的解 289

22.8 应用到有限域 291

第六部分 数系与拓扑 293

第二十三章 有理数 295

23.1 皮亚诺公理 295

23.2 系统Z 297

23.3 系统Q 300

第二十四章 实数与复数 303

24.1 Q的不完备性 303

24.2 序列 306

24.3 R的结构 309

24.4 R的序关系 311

24.5 十进小数 312

24.6 R的完备性 315

24.7 复数 317

24.8 C的完备性 319

24.9 四元数与超复数 320

第二十五章 Rn的拓扑 323

25.1 引言 323

25.2 爱尔朗根纲领中的拓扑学 323

25.3 同胚 324

25.4 笛卡尔积 329

25.5 度量空间 329

25.6 闭集与开集 332

25.7 维数 337

25.8 紧空间 339

25.9 商空间 340

25.10 单连通空间：同伦 345

25.11 代数方法 348

25.12 流形 351

25.13 应用与进一步展望 357

25.14 参考书介绍 357

第七部分 微积分 358

第二十六章 R1上代数 360

26.1 区间 360

26.2 代数运算 360

26.3 多项式 362

26.4 倒数 363

26.5 序关系 363

第二十七章 极限过程 365

27.1 极限 365

27.2 极限的代数 367

27.3 无限极限 369

27.4 序列 371

第二十八章 连续函数 372

28.1 代数？(Ⅰ) 372

28.2 复合 373

28.3 不等式保存原理 374

28.4 最大与最小 375

28.5 两个较深刻的定理 375

28.6 指数律 377

第二十九章 可微函数 379

29.1 微商 379

29.2 导数 380

29.3 代数？(Ⅰ) 380

29.4 复合 382

29.5 微分dcf 383

29.6 高阶导数 385

29.7 洛尔条件 387

29.8 例题（三角函数） 389

29.9 反函数 392

第三十章 积分 396

30.1 问题 396

30.2 积分法则 398

30.3 换元积分法 402

30.4 积分的收敛性 404

第七部分（续） 微积分的补充课题 406

第三十一章 对数函数与指数函数 407

31.1 对数函数 407

31.2 函数exp 410

31.3 指数律 411

第三十二章 微分方程 414

32.1 线性一阶方程 414

32.2 二阶方程 415

第三十三章 复变函数 419

33.1 微分法 419

33.2 函数Cis 419

33.3 ez的代数 421

第三十四章 逼近与迭代 425

34.1 泰勒展开式 425

34.2 极大与极小 428

34.3 牛顿逼近法 429

34.4 近似积分法 430

34.5 级数 433

34.6 进一步展望 436

第三十五章 多元函数 437

35.1 问题 437

35.2 连续性 438

35.3 微分 439

35.4 小误差公式 442

35.5 可微性和导数 442

第三十六章 向量值函数 444

36.1 可微性 444

36.2 复合 447

36.3 坐标系 448

36.4 微分的链法则 449

36.5 主要公式摘要 452

第三十七章 Cr—函数 454

37.1 问题 454

37.2 泰勒展开式 454

37.3 临界点 455

37.4 隐函数 456

37.5 说明 459

第八部分 基础 462

第三十八章 范畴与函子 463

38.1 范畴 463

38.2 初始对象、最终对象、零对象 466

38.3 函子 467

38.4 范畴论中的标准概念 473

第三十九章 数理逻辑 481

39.1 公理 481

39.2 集 483

39.3 相容性 485

39.4 形式系统 488

39.5 ‘证明对策’的例题 490

39.6 哥德尔定理 492

39.7 哥德尔的证明 494

39.8 选择公理与连续统假设 497

参考文献 498

专用符号索引 505