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第1章 行列式 1

1.1行列式的定义 1

1.1.1二阶与三阶行列式的定义 1

1.1.2n阶行列式的定义 5

1.2行列式的性质 9

1.3行列式的计算 13

1.4克拉默法则 20

1.5应用举例 26

习题1 29

第2章 矩阵 34

2.1矩阵的概念 34

2.1.1引例 34

2.1.2矩阵的概念 35

2.1.3一些特殊的矩阵 37

2.2矩阵运算 39

2.2.1矩阵的线性运算 39

2.2.2矩阵的乘法运算 41

2.2.3方阵的幂 44

2.2.4矩阵的转置 47

2.2.5方阵的行列式 50

2.3逆矩阵 53

2.3.1逆矩阵的概念 53

2.3.2矩阵可逆的条件 54

2.3.3逆矩阵的性质 56

2.3.4矩阵方程 57

2.4分块矩阵 60

2.4.1分块矩阵的概念 60

2.4.2分块矩阵的运算 61

2.4.3分块对角矩阵 63

2.5矩阵的初等变换 67

2.5.1初等变换 67

2.5.2初等矩阵 71

2.5.3初等变换求逆矩阵 74

2.6矩阵的秩 76

2.6.1矩阵秩的定义 76

2.6.2矩阵秩的计算 78

2.7应用举例 80

2.7.1矩阵在图论中的应用 80

2.7.2矩阵在信息检索中的应用 83

2.7.3矩阵在图像处理中的应用 85

习题2 88

第3章 线性方程组 95

3.1消元法 95

3.1.1 n元线性方程组 95

3.1.2消元法 96

3.1.3线性方程组的解 100

3.2向量组的线性相关性 106

3.2.1向量的概念与运算 106

3.2.2向量组的线性组合 107

3.2.3向量组的线性相关性 113

3.3向量组的秩 121

3.3.1向量组的极大线性无关组 121

3.3.2向量组的秩 122

3.3.3向量组的秩与矩阵秩的关系 122

3.4向量空间 125

3.4.1向量空间的概念 125

3.4.2向量空间的基与维数 126

3.4.3向量空间的基变换与坐标变换 128

3.5线性方程组解的结构 131

3.5.1齐次线性方程组解的结构 131

3.5.2非齐次线性方程组解的结构 138

3.6应用举例 143

3.6.1配方问题 143

3.6.2化学方程式的配平 146

3.6.3网络流问题 147

习题3 148

第4章 特征值与特征向量 156

4.1特征值与特征向量的概念 156

4.2特征值与特征向量的性质 160

4.3相似矩阵 163

4.3.1相似矩阵的概念及性质 163

4.3.2矩阵的对角化 165

4.4向量的内积与正交矩阵 171

4.4.1向量的内积与长度 172

4.4.2向量的正交性及正交向量组 173

4.4.3正交矩阵 176

4.5实对称矩阵的对角化 178

4.6应用举例 182

4.6.1矩阵对角化在离散线性动力系统研究中的应用 182

4.6.2矩阵对角化在微分方程求解中的应用 184

4.6.3向量距离在线性方程组求解中的应用 186

习题4 187

第5章 二次型 190

5.1二次型及其矩阵 190

5.1.1二次型的基本概念 190

5.1.2二次型的矩阵 191

5.2二次型的标准形 192

5.3正定二次型 197

5.4应用举例 201

习题5 204

部分习题答案 207