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第1章 函数、极限与连续 1

本章学习目标 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的性质 3

1.1.3 反函数与复合函数 3

1.1.4 函数的运算 5

1.1.5 初等函数 5

习题1.1 6

1.2 数列的极限 7

1.2.1 数列极限的概念 7

1.2.2 收敛数列的性质 8

习题1.2 10

1.3 函数的极限 10

1.3.1 函数极限的概念 10

1.3.2 函数极限的性质 13

习题1.3 13

1.4 无穷小与无穷大 14

1.4.1 无穷小 14

1.4.2 无穷大 15

习题1.4 15

1.5 极限运算法则 16

习题1.5 18

1.6 极限存在准则两个重要极限 19

1.6.1 极限存在准则 19

1.6.2 两个重要极限 20

习题1.6 22

1.7 无穷小的比较 23

习题1.7 24

1.8 函数的连续性 25

1.8.1 函数的连续性概念 25

1.8.2 函数的间断点及其类型 26

1.8.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 28

习题1.8 30

1.9 闭区间上连续函数的性质 31

1.9.1 有界性与最大值最小值定理 31

1.9.2 零点定理和介值定理 31

习题1.9 32

本章小结 33

复习题1 34

自测题1 34

第2章 导数与微分 36

本章学习目标 36

2.1 导数的概念 36

2.1.1 导数概念的引例 36

2.1.2 导数的概念 37

2.1.3 导数的几何意义 39

2.1.4 导与连续的关系 42

习题2.1 43

2.2 导数的运算 44

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 44

2.2.2 复合函数的导数 46

2.2.3 反函数的求导法则 47

2.2.4 初等函数的导数 48

2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 49

2.2.6 高阶导数 51

习题2.2 53

2.3 微分 54

2.3.1 微分的概念 54

2.3.2 微分的几何意义 57

2.3.3 微分的基本公式与运算法则 57

2.3.4 微分在近似计算中的应用 59

习题2.3 60

本章小结 60

复习题2 61

自测题2 62

第3章 微分中值定理与导数的应用 64

本章学习目标 64

3.1 微分中值定理 64

3.1.1 罗尔定理 64

3.1.2 拉格朗日中值定理 65

3.1.3 柯西中值定理 67

习题3.1 68

3.2 洛必达法则 68

3.2.1 0/0型未定式的极限 68

3.2.2 ∞/∞型未定式 70

3.2.3 其他未定式的极限 71

习题3.2 72

3.3 函数的单调性、极值和最值 72

3.3.1 函数的单调性 72

3.3.2 函数的极值 74

3.3.3 函数的最大值和最小值 76

习题3.3 78

3.4 曲线的凹凸性与拐点 79

习题3.4 81

3.5 函数图形的描绘 81

习题3.5 83

3.6 曲率 83

3.6.1 曲率的概念 84

3.6.2 弧微分 84

3.6.3 曲率的计算公式 85

习题3.6 86

本章小结 86

复习题3 87

自测题3 88

第4章 不定积分 90

本章学习目标 90

4.1 不定积分的概念与性质 90

4.1.1 不定积分的概念 90

4.1.2 基本积分公式 93

4.1.3 不定积分的性质 93

习题4.1 95

4.2 不定积分的换元积分法 97

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 97

4.2.2 第二类换元积分法 102

习题4.2 106

4.3 分部积分法 108

习题4.3 111

4.4 简单有理函数的积分及积分表的使用 112

4.4.1 简单有理函数的积分 112

4.4.2 三角函数有理式的积分 114

4.4.3 积分表的使用 115

习题4.4 116

本章小结 116

复习题4 119

自测题4 120

第5章 定积分 123

本章学习目标 123

5.1 定积分的概念与性质 123

5.1.1 引出定积分概念的实例 123

5.1.2 定积分的概念 125

5.1.3 定积分的几何意义 126

5.1.4 定积分的基本性质 127

习题5.1 129

5.2 定积分基本公式 130

5.2.1 变上限的定积分 130

5.2.2 微积分学基本定理 132

习题5.2 134

5.3 定积分的换元法和分部积分法 135

5.3.1 定积分的换元积分法 135

5.3.2 定积分的分部积分法 139

习题5.3 142

5.4 广义积分 144

5.4.1 无穷区间上的广义积分 144

5.4.2 无界函数的广义积分 146

习题5.4 149

本章小结 149

复习题5 151

自测题5 152

第6章 定积分的应用 154

本章学习目标 154

6.1 定积分的微元法 154

6.2 定积分在几何学上的应用 155

6.2.1 用定积分求平面图形的面积 155

6.2.2 用定积分求体积 160

习题6.2 164

6.3 定积分在物理学上的应用 164

6.3.1 变力沿直线所做的功 164

6.3.2 液体的压力 166

6.3.3 引力 166

习题6.3 168

本章小结 168

复习题6 169

自测题6 170

第7章 常微分方程 171

本章学习目标 171

7.1 常微分方程的基本概念 171

习题7.1 173

7.2 可分离变量的微分方程 174

习题7.2 177

7.3 齐次方程 178

习题7.3 180

7.4 一阶线性微分方程 180

习题7.4 184

7.5 降阶的高阶微分方程 185

7.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 185

7.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 186

7.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 188

习题7.5 190

7.6 高阶线性微分方程解的结构 190

习题7.6 192

7.7 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 192

习题7.7 195

7.8 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 195

习题7.8 202

7.9 微分方程的应用 203

7.9.1 一阶微分方程的应用 203

7.9.2 二阶微分方程的应用 204

习题7.9 207

本章小结 208

复习题7 209

自测题7 212

附录1 积分表 214

附录2 习题参考答案 222

参考文献 241