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第一章 函数与极限 1

一、知识网络与知识要点 1

（一）知识网络 1

（二）知识要点 2

二、释疑解难 8

三、错解分析 15

四、典型题型例题选解 25

题型1 确定函数的定义域 25

题型2 求函数的值域 27

题型3 判别函数的异同 28

题型4 利用某种关系求函数表达式 29

题型5 函数奇偶性的判定 31

题型6 求反函数的表达式 33

题型7 求函数的周期或具周期性的有关证明 34

题型8 函数f（x）在区间I上单调性的判定 36

题型9 函数有界性的判定 36

题型10 根据极限定义证明极限 38

题型11 数列｛P(n)/Q(n)｝的极限（其中P（n）、Q（n）为n的代数式） 39

题型12 求1∞型的数列极限 41

题型13 求通项为n项和的数列的极限 41

题型14 通项由递推关系给出的数列的极限 43

题型15 通项为n个因式连乘形式数列的极限 44

题型16 判断数列极限的存在性 46

题型17 极限概念、运算定理的运用 47

题型18 0/0型未定式的求法 47

题型19 求∞/∞型未定式极限 49

题型20 求∞-∞型未定式极限 50

题型21 求幂指型未定式1∞，0°，∞°的极限 51

题型22 求分段函数在分段点处的极限 52

题型23 有界函数乘无穷小的极限问题 53

题型24 根据极限求函数的待定参数 54

题型25 已知某极限求另一些极限 55

题型26 含参量的数列极限 56

题型27 判定函数极限的存在性 57

题型28 无穷小量及其比较 57

题型29 函数连续性的讨论 58

题型30 求函数的间断点及判断类型 60

题型31 分段函数式中参数的确定 62

题型32 利用零点定理证明方程根的存在性 63

题型33 利用连续函数性质证明某些命题 64

五、检测题与参考答案 66

第二章 导数与微分 83

一、知识网络与知识要点 83

（一）知识网络 83

（二）知识要点 84

二、释疑解难 87

三、错解分析 95

四、典型题型例题选解 103

题型1 运用导数定义讨论导数 103

题型2 可导条件下求某些极限 106

题型3 已知某极限求导数 108

题型4 可导条件下求某些参数 110

题型5 利用导数定义求函数表达式 112

题型6 求分段函数的导数 112

题型7 利用函数求导法求导数 114

题型8 对数求导法求导数 115

题型9 求参数方程所确定函数的导数 117

题型10 隐函数的导数 119

题型11 求高阶导数 120

题型12 求函数的微分 122

题型13 用微分作近似计算 123

题型14 求切线方程与法线方程 124

题型15 证函数及导数满足某关系式 125

题型16 杂例 126

五、检测题与参考答案 127

第三章 微分中值定理与导数的应用 144

一、知识网络与知识要点 144

（一）知识网络 144

（二）知识要点 145

二、释疑解难 148

三、错解分析 158

四、典型题型例题选解 166

题型1 验证函数在某区间是否符合中值定理 166

题型2 利用罗尔定理讨论根的存在性或零点的存在性 167

题型3 证明存在点ζ使f(n)（ζ）=0的命题 169

题型4 证明存在ζ使f(n)（ζ）=k（k≠0）的命题 170

题型5 利用拉格朗日中值定理证明等式（或恒等式） 171

题型6 利用拉格朗日中值定理证明不等式 171

题型7 证明在（a,b）内至少存在ζ，η（ζ≠η）满足某种关系式 173

题型8 利用中值定理讨论函数的性质 174

题型9 运用洛必达法则求极限等问题 175

题型10 利用中值定理求极限 178

题型11 利用导数证明不等式 179

题型12 利用导数判别函数单调性 180

题型13 函数图形在区间I上凹凸性的判定及求拐点 182

题型14 求函数的极值或最值 183

题型15 利用极值或最值证明不等式 186

题型16 利用凹凸性证明不等式 187

题型17 利用泰勒公式展开函数 188

题型18 利用泰勒公式讨论与极限相关问题 189

题型19 利用泰勒公式讨论函数性质（如证明不等式） 190

题型20 关于方程根的研究 192

题型21 求曲线的渐近线 194

题型22 函数图形的描绘 195

题型23 曲率及相关计算 196

五、检测题与参考答案 197

第四章 不定积分 214

一、知识网络与知识要点 214

（一）知识网络 214

（二）知识要点 214

二、释疑解难 219

三、错解分析 232

四、典型题型例题选解 235

题型1 原函数与不定积分的概念 235

题型2 分段函数的不定积分 235

题型3 直接积分 237

题型4 不定积分的第一类换元法（凑微分法） 238

题型5 不定积分的第二类换元法 239

题型6 不定积分的分部积分法 242

题型7 有理函数的积分 246

题型8 三角函数有理式的积分 247

题型9 简单无理函数的积分 248

五、检测题与参考答案 249

第五章 定积分 271

一、知识网络与知识要点 271

（一）知识网络 271

（二）知识要点 271

二、释疑解难 275

三、错解分析 285

四、典型题型例题选解 295

题型1 定积分定义的应用 295

题型2 用定积分的几何意义求定积分的值 297

题型3 定积分性质的应用 298

题型4 有关积分上限函数 299

题型5 定积分的换元积分法 301

题型6 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分的计算及证明 304

题型7 定积分的分部积分法 306

题型8 分段（含绝对值）函数的定积分 308

题型9 广义积分 310

题型10 定积分的证明 313

五、检测题与参考答案 317

第六章 定积分的应用 343

一、知识网络与知识要点 343

（一）知识网络 343

（二）知识要点 343

二、释疑解难 347

三、错解分析 351

四、典型题型例题选解 354

题型1 求平面图形的面积 354

题型2 求立体体积 359

题型3 求平面曲线的弧长 362

题型4 旋转体的侧面积 363

题型5 求平均值 364

题型6 求质量 365

题型7 求变力沿直线所作的功 366

题型8 求液体的静压力 367

题型9 求引力 368

五、检测题与参考答案 369