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第1章 概率论基础 1

1.1 概率空间 1

1.1.1 概率 1

1.1.2 条件概率与独立性 3

1.2 随机变量与典型分布 5

1.2.1 随机变量 5

1.2.2 典型分布 7

1.2.3 多维随机变量 9

1.2.4 条件随机变量 10

1.2.5 独立性 11

1.3 随机变量的函数 13

1.3.1 一元函数 13

1.3.2 二元函数 13

1.4 数字特征 16

1.4.1 黎曼-斯蒂阶积分 16

1.4.2 数学期望（或统计平均） 17

1.4.3 矩与联合矩 17

1.5 条件数学期望 19

1.5.1 基本概念 19

1.5.2 主要性质 21

1.6 特征函数、矩母函数与概率母函数 23

1.6.1 特征函数 23

1.6.2 矩母函数与概率母函数 26

1.6.3 其他常用变换 27

1.7 随机收敛性与极限定理 28

1.7.1 随机变量序列的收敛性 28

1.7.2 收敛定理 29

1.7.3 大数定律 30

1.7.4 中心极限定理 31

习题 32

第2章 随机过程基础 35

2.1 定义与基本特性 35

2.1.1 概念 35

2.1.2 基本特性 35

2.1.3 举例 37

2.1.4 分类 40

2.2 平稳性与平稳过程 40

2.2.1 严格与广义平稳过程 40

2.2.2 平稳过程的相关函数 41

2.3 独立过程与白噪声过程 42

2.4 高斯过程 43

2.4.1 高斯分布 44

2.4.2 高斯随机变量的性质 45

2.4.3 高斯随机过程 47

2.5 独立增量过程 49

2.5.1 基本概念 49

2.5.2 基本性质 50

2.5.3 平稳独立增量过程 50

2.6 布朗运动 53

2.6.1 布朗运动的背景与定义 53

2.6.2 基本性质 54

2.6.3 首达与过零点问题 55

2.6.4 布朗桥 57

习题 57

第3章 泊松过程及其推广 60

3.1 定义与背景 60

3.2 泊松事件到达时间与时间间隔 62

3.2.1 基本概念 62

3.2.2 基本性质 63

3.2.3 指数流 64

3.2.4 指数随机变量的一些性质 65

3.3 到达时间的条件分布 66

3.4 过滤泊松过程 68

3.4.1 基本概念与性质 68

3.4.2 泊松冲激序列 70

3.5 复合泊松过程 70

3.6 非齐次与条件泊松过程 71

3.7 更新过程 73

3.7.1 定义与更新函数 73

3.7.2 剩余寿命与年龄 75

3.7.3 若干极限定理 75

习题 76

第4章 马尔可夫过程 79

4.1 基本概念与举例 79

4.1.1 定义 79

4.1.2 转移概率、C-K方程与概率分布 80

4.1.3 齐次马尔可夫链 82

4.1.4 举例 83

4.2 状态分类 87

4.2.1 可达与首达 87

4.2.2 常返态与非常返态 89

4.2.3 正常返性与周期性 90

4.3 状态空间分解 91

4.3.1 等价类 91

4.3.2 状态闭集与空间分解 92

4.4 遍历性、极限分布与平稳分布 93

4.4.1 遍历性与基本极限定理 93

4.4.2 平稳分布 95

4.4.3 有限状态链的遍历性 95

4.5 隐马尔可夫链 96

4.5.1 基本概念 96

4.5.2 最大后验概率（MAP）估计方法 97

4.6 连续参数马尔可夫链及其基本性质 99

4.6.1 定义 99

4.6.2 基本性质 100

4.6.3 Q矩阵 100

4.6.4 向前向后微分方程 102

4.7 生灭过程 103

4.8 排队论及其应用简介 106

4.8.1 排队系统 106

4.8.2 马尔可夫队列及其举例 107

习题 110

第5章 二阶矩过程及其均方分析 114

5.1 二阶矩随机变量空间与均方极限 114

5.1.1 二阶矩过程 114

5.1.2 二阶矩随机变量空间 114

5.1.3 随机序列的均方极限 116

5.1.4 随机过程的均方极限 117

5.2 均方连续 118

5.3 均方导数 119

5.3.1 定义与可导准则 119

5.3.2 基本性质 119

5.4 均方积分 121

5.4.1 定义与可积准则 121

5.4.2 基本性质 122

5.4.3 黎曼-斯蒂阶均方积分与伊藤积分 124

5.5 平稳过程的均方导数与积分 125

5.6 高斯过程的导过程与积分过程 126

5.7 随机常微分方程 128

5.7.1 基本概念 128

5.7.2 简单线性常微分方程的解 129

5.7.3 计算解的均值与相关函数 130

习题 131

第6章 平稳过程 133

6.1 各态历经性（遍历性） 133

6.1.1 基本概念 133

6.1.2 各态历经性定理 134

6.1.3 均值、方差与相关函数的估计方法 137

6.2 功率谱密度 137

6.2.1 功率谱密度 138

6.2.2 相关函数的谱分解定理 141

6.2.3 平稳白噪声 141

6.3 具有随机输入的线性时不变系统 142

6.3.1 系统的输出过程 143

6.3.2 输出过程的均值与相关函数 143

6.3.3 输入为平稳过程的情形 144

6.3.4 输出中的瞬态部分 146

6.4 调制与带通过程 147

6.4.1 希尔伯特变换与解析过程 147

6.4.2 调制过程 149

6.4.3 复数表示法、相关函数与功率谱 149

6.4.4 带通调制过程 151

6.5 AR、MA和ARMA过程 154

6.5.1 具有随机输入的离散LTI系统 154

6.5.2 白噪声通过离散LTI系统 155

6.5.3 AR过程 156

6.5.4 MA过程 157

6.5.5 ARMA过程 158

6.6 傅里叶级数、随机谱分解与采样定理 158

6.6.1 傅里叶级数 159

6.6.2 随机谱分解 159

6.6.3 带限过程与采样定理 161

习题 162

第7章 高阶统计量与非平稳过程 165

7.1 高阶统计量 165

7.1.1 高阶矩及高阶累积量定义 165

7.1.2 高阶矩与高阶累积量的关系 166

7.1.3 高阶累积量的性质 167

7.1.4 高斯随机变量的高阶统计特性 169

7.1.5 高阶谱 169

7.1.6 随机过程通过线性时不变系统 170

7.2 循环平稳过程 170

7.2.1 严循环平稳过程与宽循环平稳过程 170

7.2.2 循环相关函数与谱相关密度函数 171

7.2.3 循环矩与循环累积量 172

7.2.4 循环矩谱与循环累积量谱 173

7.3 时频分析 173

7.3.1 不确定性原理 173

7.3.2 短时Fourier变换 174

7.3.3 Wigner-Ville分布 175

7.3.4 连续小波变换 177

习题 180

附录A典型分布及其主要特性列表 181

参考文献 183