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第一篇 高等数学 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1 函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 3

例题分析 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、关于函数有界（无界）的讨论 5

2 极限 6

内容精讲 6

一、定义 6

二、重要性质、定理、公式 7

三、计算极限的一些有关方法 8

例题分析 11

一、求函数的极限 11

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 16

三、含有｜x｜,e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 19

四、无穷小的比较 20

五、数列的极限 21

六、极限运算定理的正确运用 24

3 函数的连续与间断 27

内容精讲 27

一、定义 27

二、重要性质、定理、公式 28

例题分析 28

一、讨论函数的连续与间断 28

二、在连续条件下求参数 29

三、连续函数的零点问题 29

自测题 30

第二章 一元函数微分学 33

考点与要求 33

1 导数与微分，导数的计算 33

内容精讲 33

一、定义 33

二、重要性质、定理、公式 34

例题分析 37

一、按定义求一点处的导数 37

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 38

三、绝对值函数的导数 43

四、由极限式表示的函数的可导性 44

五、导数与微分、增量的关系 45

六、求导数的计算题 45

2 导数的应用 47

内容精讲 47

一、定义 47

二、重要性质、定理、公式与方法 48

例题分析 50

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 50

二、渐近线 52

三、曲率与曲率圆 53

四、最大值、最小值问题 54

3 中值定理、不等式与零点问题 54

内容精讲 54

一、重要定理 54

二、重要方法 56

例题分析 57

一、不等式的证明 57

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 61

三、复合函数？（x,f(x),f′(x)）的零点 63

四、复合函数？（x,f(x),f′(x),f″(x)）的零点 64

五、“双中值”问题 65

六、零点的个数问题 66

七、证明存在某ξ满足某不等式 67

八、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 68

自测题 69

第三章 一元函数积分学 72

考点与要求 72

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 72

内容精讲 72

一、定义 72

二、重要性质、定理、公式 73

例题分析 74

一、分段函数的不定积分与定积分 74

二、定积分与原函数的存在性 76

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 77

2 不定积分与定积分的计算 80

内容精讲 80

一、基本积分公式 80

二、基本积分方法 81

例题分析 83

一、简单有理分式的积分 83

二、三角函数的有理分式的积分 84

三、简单无理式的积分 84

四、两种不同类型的函数相乘的积分 86

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 87

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 88

七、含参变量带绝对值号的定积分 90

3 反常积分及其计算 91

内容精讲 91

一、定义 91

二、重要性质、定理、公式 92

例题分析 93

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 93

二、关于奇、偶函数的反常积分 95

4 定积分的应用 96

内容精讲 96

一、基本方法 96

二、重要几何公式与物理应用 97

例题分析 98

一、几何应用 98

二、物理应用 101

5 定积分的证明题 104

内容精讲 104

例题分析 104

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 104

二、由积分定义的函数求极限 106

三、积分不等式的证明 107

四、零点问题 112

自测题 114

第四章 向量代数与空间解析几何 118

考点与要求 118

1 向量代数 118

内容精讲 118

一、与向量有关的基本概念 118

二、向量的运算及性质 118

例题分析 120

一、向量的运算 120

二、向量运算的应用及向量的位置关系 121

2 平面与直线 123

内容精讲 123

一、平面方程 123

二、直线方程 123

三、平面与直线间的位置关系 123

例题分析 124

一、建立平面方程 124

二、建立直线方程 126

三、与平面和直线的位置关系有关的问题 128

3 空间曲面与曲线 130

内容精讲 130

一、旋转面及其方程 130

二、柱面及其方程 130

三、常见的二次曲面及图形 131

四、空间曲线及其方程 132

五、空间曲线的投影 133

例题分析 133

一、建立柱面方程 133

二、建立旋转面方程 134

三、建立空间曲线的投影曲线方程 135

自测题 136

第五章 多元函数微分学 138

考点与要求 138

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念） 138

内容精讲 138

一、多元函数 138

二、二元函数的极限与连续 138

三、二元函数的偏导数与全微分 139

例题分析 141

一、讨论二重极限 141

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 143

三、讨论二元函数的可微性 144

2 多元函数的微分法 147

内容精讲 147

一、复合函数的偏导数与全微分 148

二、隐函数的偏导数与全微分 149

例题分析 150

一、求复合函数的偏导数与全微分 150

二、求隐函数的偏导数与全微分 158

3 极值与最值 163

内容精讲 163

一、无条件极值 163

二、条件极值 164

例题分析 164

一、无条件极值问题 164

二、条件极值（最值）问题 167

三、多元函数的最大（小）值问题 168

4 方向导数与梯度及多元微分在几何上的应用 173

内容精讲 173

一、方向导数 173

二、梯度 174

三、曲面的切平面与法线 174

四、曲线的切线和法平面 174

例题分析 175

一、有关方向导数与梯度 175

二、有关曲面的切平面和曲线的切线 178

自测题 180

第六章 多元函数积分学 184

考点与要求 184

1 重积分 184

内容精讲 184

一、二重积分 184

二、三重积分 187

例题分析 189

一、计算二重积分 189

二、累次积分交换次序及计算 198

三、与二重积分有关的综合题 200

四、与二重积分有关的积分不等式问题 203

五、计算三重积分 205

六、三重积分的累次积分 209

2 曲线积分 210

内容精讲 210

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 210

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 211

例题分析 213

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 213

二、对坐标的线积分 215

3 曲面积分 224

内容精讲 224

一、对面积的面积分（第一类面积分） 224

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 225

例题分析 227

一、对面积的面积分 227

二、对坐标的面积分 229

4 场论初步 234

内容精讲 234

一、梯度 234

二、通量 235

三、散度 235

四、旋度 235

例题分析 235

一、梯度、旋度、散度的计算 235

5 多元积分的应用 237

内容精讲 237

例题分析 238

一、几何应用 238

二、求物理量 239

自测题 242

第七章 无穷级数 247

考点与要求 247

1 常数项级数 247

内容精讲 247

一、级数的概念与性质 247

二、级数的判敛准则 248

例题分析 249

一、正项级数敛散性的判定 249

二、交错级数敛散性的判定 253

三、任意项级数敛散性判定 256

四、有关常数项级数的证明题与综合题 261

2 幂级数 266

内容精讲 266

一、函数项级数及收敛域与和函数 266

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 266

三、幂级数的性质 267

四、函数的幂级数展开 267

例题分析 268

一、求幂级数的收敛域 268

二、将函数展开为幂级数 271

三、级数求和 274

3 傅里叶级数 280

内容精讲 280

一、三角函数及其正交性 280

二、傅里叶级数 280

三、收敛性定理 280

四、周期为2π的函数的傅里叶展开 280

五、周期为2l的函数的傅里叶展开 281

例题分析 282

一、有关收敛定理的问题 282

二、将函数展开为傅里叶级数 283

自测题 284

第八章 微分方程 289

考点与要求 289

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 289

内容精讲 289

一、定义 289

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法 290

例题分析 292

一、识别类型，对号入座，按类型求解 292

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 293

三、积分方程化为微分方程求解 294

四、偏微分方程化为常微分方程求解 296

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 297

2 二阶及高阶线性微分方程 298

内容精讲 298

一、定义 298

二、重要性质、定理、公式 298

例题分析 300

一、识别类型，对号入座，按类型求解 300

二、用变量代换解微分方程 303

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 304

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 305

五、已知方程的解求方程 305

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 306

七、欧拉方程求解 307

3 微分方程的应用 308

内容精讲 308

一、几何问题 308

二、变化率问题 308

三、牛顿第二定律或运动等问题 309

四、微元法建立微分方程 310

自测题 311

第二篇 线性代数 313

第一章 行列式 313

考点与要求 313

内容精讲 313

例题分析 316

一、数字型行列式的计算 316

二、抽象型行列式的计算 321

三、行列式｜A｜是否为零的判定 323

四、关于代数余子式求和 324

自测题 325

第二章 矩阵 327

考点与要求 327

内容精讲 327

1 矩阵的概念及运算 327

一、矩阵的概念 327

二、矩阵的运算 328

三、矩阵的运算规则 328

四、特殊矩阵 329

2 可逆矩阵 330

一、可逆矩阵的概念 330

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 330

三、逆矩阵的运算性质 330

四、求逆矩阵的方法 330

3 初等变换、初等矩阵 330

一、定义 331

二、初等矩阵与初等变换的性质 331

4 矩阵的秩 332

一、矩阵秩的概念 332

二、矩阵秩的公式 332

5 分块矩阵 332

一、分块矩阵的概念 332

二、分块矩阵的运算 333

例题分析 334

一、矩阵的概念及运算 334

二、特殊方阵的幂 338

三、伴随矩阵的相关问题 340

四、可逆矩阵的相关问题 343

五、初等变换、初等矩阵 346

六、矩阵秩的计算 347

自测题 350

第三章 向量 352

考点与要求 352

内容精讲 352

1 向量组的线性相关性 352

2 极大线性无关组、秩 354

3 向量空间 355

例题分析 357

一、线性相关性的判别 357

二、向量的线性表示 359

三、向量组线性无关的证明 361

四、秩和极大线性无关组 363

五、向量空间 367

自测题 370

第四章 线性方程组 373

考点与要求 373

内容精讲 373

1 克拉默法则 373

2 齐次线性方程组 374

3 非齐次线性方程组 375

例题分析 376

一、线性方程组的基本概念题 376

二、线性方程组的求解 380

三、基础解系 386

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 388

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 389

六、两个方程组的公共解 391

七、同解方程组 392

八、线性方程组的有关杂题 394

自测题 396

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 399

考点与要求 399

内容精讲 399

1 特征值、特征向量 399

一、特征值，特征向量 399

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵 399

三、特征值的性质 399

四、求特征值、特征向量的方法 400

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 400

一、相似矩阵 400

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 400

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 401

3 实对称矩阵的相似对角化 401

一、实对称阵 401

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 401

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 401

例题分析 402

一、特征值，特征向量的求法 402

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 406

三、关于特征向量 407

四、矩阵是否相似于对角阵的判别 407

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 410

六、由特征值、特征向量反求A 410

七、矩阵相似及相似标准形 412

八、相似对角阵的应用 416

自测题 420

第六章 二次型 423

考点与要求 423

内容精讲 423

1 二次型的概念、矩阵表示 423

一、二次型概念 423

二、二次型的矩阵表示 423

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型 424

一、二次型的标准形，规范形 424

二、化二次型为标准形，规范形 424

三、合同矩阵，合同二次型 425

3 正定二次型、正定矩阵 426

例题分析 426

一、二次型的矩阵表示 426

二、化二次型为标准形 427

三、合同矩阵、合同二次型 432

四、正定性的判别 434

五、正定二次型的证明 437

六、综合杂题 438

自测题 440

第三篇 概率论与数理统计 442

第一章 随机事件和概率 442

考点与要求 442

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 442

内容精讲 442

例题分析 444

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 446

内容精讲 446

例题分析 448

3 古典概型与伯努利概型 452

内容精讲 452

例题分析 453

自测题 455

第二章 随机变量及其概率分布 457

考点与要求 457

1 随机变量及其分布函数 457

内容精讲 457

例题分析 458

2 离散型随机变量和连续型随机变量 459

内容精讲 459

例题分析 460

3 常用分布 461

内容精讲 461

例题分析 464

4 随机变量函数的分布 467

内容精讲 467

例题分析 467

自测题 469

第三章 多维随机变量及其分布 471

考点与要求 471

1 二维随机变量及其分布 471

内容精讲 471

例题分析 473

2 随机变量的独立性 478

内容精讲 478

例题分析 479

3 二维均匀分布和二维正态分布 483

内容精讲 483

例题分析 484

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布 486

内容精讲 486

例题分析 487

自测题 492

第四章 随机变量的数字特征 495

考点与要求 495

1 随机变量的数学期望和方差 495

内容精讲 495

例题分析 497

2 矩、协方差和相关系数 503

内容精讲 503

例题分析 504

自测题 511

第五章 大数定律和中心极限定理 514

考点与要求 514

内容精讲 514

例题分析 515

自测题 516

第六章 数理统计的基本概念 518

考点与要求 518

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 518

内容精讲 518

例题分析 519

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 521

内容精讲 521

例题分析 523

自测题 527

第七章 参数估计 529

考点与要求 529

1 点估计 529

内容精讲 529

例题分析 529

2 估计量的求法和区间估计 534

内容精讲 534

例题分析 536

自测题 540

第八章 假设检验 542

考点与要求 542

内容精讲 542

例题分析 543

自测题 547