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第七章 空间解析几何与向量代数 1

一、知识网络与知识要点 1

（一）知识网络 1

（二）知识要点 2

二、释疑解难 8

三、错解分析 12

四、典型题型例题选解 17

题型1 向量及其运算与法则 17

题型2 空间平面及其相关问题 19

题型3 空间直线及其相关问题 21

题型4 空间曲面与曲线及相关问题 24

五、检测题与参考答案 25

第八章 多元函数微分学及其应用 32

一、知识网络与知识要点 32

（一）知识网络 32

（二）知识要点 32

二、释疑解难 39

三、错解分析 52

四、典型题型例题选解 63

题型1 多元函数的概念 63

题型2 求二元函数的极限 66

题型3 二元函数极限存在性讨论 68

题型4 累次极限问题 69

题型5 多元函数的连续性概念 70

题型6 多元函数偏导数的概念 72

题型7 求多元函数偏导数和全微分 73

题型8 多元函数的连续性、可导性和可微性的判定及关系 75

题型9 多元函数的高阶偏导数 76

题型10 复合函数的偏导数或全导数 79

题型11 求隐函数的偏导数 83

题型12 多元函数微分学在几何中的应用 89

题型13 方向导数与梯度问题 91

题型14 求函数的极值与最值 94

题型15 二元函数的泰勒公式 97

五、检测题与参考答案 98

第九章 重积分 117

一、知识网络与知识要点 117

（一）知识网络 117

（二）知识要点 117

二、释疑解难 122

三、错解分析 128

四、典型题型例题选解 134

题型1 二重积分概念及其性质的命题 134

题型2 交换积分次序 137

题型3 选择合适积分次序计算重积分 138

题型4 选择合适的坐标系计算二重积分 139

题型5 二重积分的换元法求二重积分 141

题型6 具有某种对称性的二重积分 142

题型7 分段函数或含绝对值函数的二重积分计算 146

题型8 二重积分中的等式证明 147

题型9 积分不等式的证明 149

题型10 三重积分的计算 151

题型11 重积分的几何应用 159

题型12 重积分的物理应用 161

题型13 杂例 165

五、检测题与参考答案 168

第十章 曲线积分与曲面积分 192

一、知识网络与知识要点 192

（一）知识网络 192

（二）知识要点 193

二、释疑解难 200

三、错解分析 206

四、典型题型例题选解 214

题型1 对弧长曲线积分的计算 214

题型2 对坐标曲线积分的计算 217

题型3 对面积的曲面积分计算 224

题型4 对坐标的曲面积分的计算 227

题型5 曲面积分的应用 231

题型6 利用格林公式解题 235

题型7 高斯公式、通量与散度 240

题型8 斯托克斯公式、环流量与旋度 243

五、检测题与参考答案 245

第十一章 无究级数 263

一、知识网络与知识要点 263

（一）知识网络 263

（二）知识要点 263

二、释疑解难 271

三、错解分析 278

四、典型题型例题选解 285

题型1 用级数收敛定义判定级数的收敛性 285

题型2 用级数收敛的必要条件判定级数的发散性 286

题型3 用比较法判定级数的收敛性 287

题型4 用比较法的极限形式判定级数收敛性 287

题型5 用比值法判定级数的收敛性 288

题型6 用根值法判定级数的收敛性 289

题型7 判定级数是绝对收敛还是条件收敛 290

题型8 求幂级数的收敛半径和收敛域 291

题型9 求幂级数的和 293

题型10 在指定点将函数展开为幂级数 294

题型11 傅里叶级数 295

五、检测题与参考答案 297

第十二章 微分方程 312

一、知识网络与知识要点 312

（一）知识网络 312

（二）知识要点 312

二、释疑解难 316

三、错解分析 319

四、典型题型例题选解 323

题型1 微分方程的基本概念 323

题型2 求解形如y′=f（y/x）的方程（齐次方程） 324

题型3 形如y′=f（ax+by+c）的方程 324

题型4 形如y′=f（a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2）的方程 325

题型5 作适当变量代换可化为变量分离方程的方程 326

题型6 一阶线性方程 328

题型7 几类可化为一阶线性方程的方程 329

题型8 形如y(n)=f（x）的方程 330

题型9 形如y″=f（x,y′）的方程（不显含y） 330

题型10 形如y″=f（y,y′）的方程（不显含x） 331

题型11 形如y″=f（y′）的方程（既不显含x又不显含y） 331

题型12 已知二阶线性齐次方程的一个解，求其通解 331

题型13 已知二阶非齐次线性方程的特解，求其通解 332

题型14 已知微分方程的解，求微分方程 333

题型15 高阶常系数齐次线性微分方程 333

题型16 二阶常系数非齐次线性微分方程 334

题型17 用幂级数微分方程的解 336

题型18 微分方程的应用 337

五、检测题与参考答案 339

主要参考书目 349