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绪论 高等代数的内容、方法和意义 1

预备章 集论语言 数域 5

0.1集合 5

习题0.1 7

0.2映射 7

0.2.1映射的概念 7

0.2.2映射的合成 8

习题0.2 10

0.3数学归纳法 10

习题0.3 13

0.4整数算术 13

0.4.1整除的概念 13

0.4.2最大公因数 14

0.4.3算术基本定理 15

习题0.4 16

0.5数环和数域 16

习题0.5 18

第1章 矩阵 19

1.1消元法 19

1.1.1例引 19

1.1.2线性方程组的概念 20

1.1.3化为阶梯形 21

1.1.4线性方程组解的讨论 22

习题1 23

应用参考CT机应用时的线性方程组问题 24

1.2矩阵的运算 25

1.2.1矩阵的实例和记号 25

1.2.2矩阵的运算 27

1.2.3矩阵的转置与共轭 30

习题1.2 32

应用参考 矩阵乘法在高科技中的应用 33

1.3可逆矩阵 初等矩阵 34

1.3.1可逆矩阵的概念 34

1.3.2初等变换与初等矩阵 35

1.3.3求逆矩阵的初等变换法 38

习题1.3 39

应用参考 矩阵编制密码简介 40

1.4分块矩阵 41

1.4.1矩阵的分块形式 42

1.4.2分块矩阵的运算 42

1.4.3分块矩阵的初等变换 45

习题1.4 46

应用参考 电力系统潮流计算中节点阻抗矩阵的分块公式 47

第2章 行列式 51

2.1行列式的定义 51

2.1.1排列的奇偶性 51

2.1.2n阶行列式的定义 53

习题2.1 55

2.2行列式的性质 55

习题2.2 59

2.3行列式的定理 60

2.3.1乘法定理 60

2.3.2按一行（列）展开定理 61

2.3.3 Laplace展开定理 64

习题2.3 66

应用参考Laplace展开显“灵” 68

2.4行列式的计算 69

2.4.1基本算法 69

2.4.2化简技巧 72

2.4.3辅助算法 73

习题2.4 75

2.5行列式的应用 78

2.5.1逆矩阵的行列式公式 78

2.5.2 Cramer法则 79

习题2.5 81

应用参考 三角形面积的行列式公式 82

2.6矩阵的秩 84

2.6.1矩阵秩的概念 85

2.6.2矩阵秩的分块方法 86

习题2.6 88

第3章 线性方程组解的理论 89

3.1 n维列（行）向量张成的向量空间 89

3.1.1向量空间Fn 89

3.1.2 Fn的线性子空间 92

习题3.1 93

3.2向量的线性相关性 93

3.2.1线性相关与线性无关的概念 93

3.2.2替换定理 96

习题3.2 97

3.3维数、秩及其应用 98

3.3.1基和维数 98

3.3.2矩阵的行秩和列秩 100

3.3.3线性方程组解的两个基本问题 100

习题3.3 102

3.4线性方程组解的结构 104

3.4.1齐次线性方程组情形 104

3.4.2非齐次线性方程组情形线性流形 107

习题 3.4 109

应用参考 经济学中的齐次线性方程组 110

应用参考 平板的受热问题 113

3.5线性方程组的几何应用 115

3.5.1诸平面过一条直线问题 115

3.5.2四点共圆问题 115

3.5.3一般二次曲线方程的求解 117

3.5.4空间五点的Cayley定理与应用 117

习题3.5 120

3.6广义逆矩阵 121

3.6.1 Moore-Penrose型广义逆 121

3.6.2 ｛1｝-逆对线性方程组的应用 124

习题3.6 125

第4章 多项式代数 127

4.1一元多项式环 127

4.1.1一元多项式环的概念 127

4.1.2多项式的次数 129

习题4.1 130

4.2整除的概念 130

4.2.1带余除法 130

4.2.2整除的概念 132

习题4.2 134

4.3最大公因式 134

4.3.1两个多项式的最大公因式 135

4.3.2多个多项式的最大公因式 137

4.3.3互素多项式 138

习题4.3 139

4.4因式分解定理 140

4.4.1不可约多项式的概念 140

4.4.2唯一分解定理 141

4.4.3重因式 143

习题4.4 145

4.5多项式函数 146

4.5.1一元多项式函数 146

4.5.2多项式的根 148

4.5.3函数定义与形式定义的一致性 149

习题4.5 149

应用参考 多项式在建模中的应用 150

4.6复数域和实数域上多项式 153

4.6.1 C上的多项式的因式分解 153

4.6.2 R上的多项式的因式分解155 4.6.3 Viete定理 157

习题4.6 159

4.7有理数域上多项式 160

4.7.1可约性及其判别 160

4.7.2有理根的求解 163

习题4.7 165

4.8多元多项式环 165

4.8.1多元多项式环的概念 166

4.8.2多元多项式的表示 168

4.8.3多元多项式函数 171

4.8.4多元多项式的因式分解 173

习题4.8 174

4.9对称多项式 175

4.9.1对称多项式的基本定理 175

4.9.2一元多项式根的对称多项式 180

习题4.9 181

4.10二元高次方程组 182

4.10.1结式的概念 182

4.10.2二元高次方程组的求解 184

习题4.10 187

第5章 群、环、域的概念 188

5.1具有代数运算的集合 188

5.1.1二元代数运算 188

5.1.2半群 190

习题5.1 192

5.2群 192

5.2.1定义与例子 193

5.2.2刻画定理 194

5.2.3子群的概念 196

习题5.2 199

5.3环 199

5.3.1定义与例子 200

5.3.2环的乘法半群 203

5.3.3子环的概念 204

习题5.3 205

5.4除环、域 206

5.4.1无零因子环 206

5.4.2除环域 208

5.4.3关于矩阵、多项式的注记 212

习题5.4 214

5.5同构 等价关系 214

5.5.1代数系统的同构 215

5.5.2等价关系 218

习题5.5 222

第6章 向量空间 223

6.1向量空间的概念 223

6.1.1定义公理与例子 223

6.1.2简单性质 225

6.1.3子空间 226

习题6.1 227

6.2有限维向量空间的基与维数 228

6.2.1向量的线性相关性 228

6.2.2基 231

6.2.3维数 234

习题6.2 236

6.3坐标及其变换公式 237

6.3.1坐标 237

6.3.2基变换 238

6.3.3坐标变换公式 240

习题6.3 241

应用参考Durer魔方 242

6.4子空间代数 244

6.4.1交与和 244

6.4.2直和 247

6.4.3子空间格 250

习题6.4 251

6.5向量空间的同构 252

6.5.1基本概念 252

6.5.2同构的运用 255

6.5.3商空间 256

习题6.5 259

应用参考 线性码 259

第7章 线性算子 262

7.1线性映射的概念 262

7.1.1定义与例子 262

7.1.2值域与核 265

7.1.3线性映射基本定理 267

习题7.1 268

7.2线性算子代数 269

7.2.1基本运算及其代数系统 269

7.2.2线性算子的多项式环 271

7.2.3线性算子的矩阵表示 273

7.2.4矩阵相似的概念 276

习题7.2 277

7.3特征值与特征向量 278

7.3.1定义与求法 278

7.3.2 Hamilton-Cayley定理 282

7.3.3特征向量的性质 284

7.3.4可对角化的线性算子 285

习题7.3 288

应用参考 可对角化矩阵的应用两例 290

7.4不变子空间 293

7.4.1定义与例子 294

7.4.2线性算子在基下矩阵的化简 294

7.4.3不变子空间的存在性 295

7.4.4商算子 297

习题7.4 299

7.5线性算子的结构定理 300

7.5.1最小多项式 300

7.5.2向量空间的准素分解 303

7.5.3线性算子的Jordan分解 306

7.5.4幂零算子的结构 308

习题7.5 311

第8章 相似、合同标准形 313

8.1 λ-矩阵的相抵化简 313

8.1.1 λ-矩阵的概念 313

8.1.2 λ-矩阵的相抵标准形 314

8.1.3唯一性——不变因子 317

习题8.1 319

8.2有理标准形 320

8.2.1矩阵相似的条件 320

8.2.2有理标准形 322

8.2.3 Frobenius定理 324

习题8.2 325

8.3 Jordan标准形 326

8.3.1初等因子 326

8.3.2 Jordan标准形 328

8.3.3与空间分解的关系 330

习题8.3 332

8.4二次型的化简与矩阵的合同 333

8.4.1二次型及其矩阵合同的概念 333

8.4.2二次型与对称矩阵的合同化简 336

8.4.3复二次型的规范型 342

习题8.4 343

8.5 Sylvester惯性定理及正定二次型 344

8.5.1 Sylvester惯性定理 344

8.5.2正定二次型的概念 346

8.5.3正定矩阵 347

8.5.4其他类型的实二次型注记 349

习题8.5 350

8.6 Hermite型与Hermite矩阵 350

习题8.6 352

第9章 Euclid空间与酉空间 353

9.1 Euclid空间的概念 353

9.1.1定义与例子 353

9.1.2度量概念 355

9.1.3n维Euclid空间的度量矩阵 357

习题9.1 358

9.2标准正交基与正交补 359

9.2.1标准正交基 359

9.2.2 Euclid空间的同构 363

9.2.3正交补 364

9.2.4应用：最小二乘法 366

习题9.2 368

9.3正交算子 370

9.3.1正交算子的概念 370

9.3.2 n维Euclid空间的正交算子 371

9.3.3初等旋转、镜像反射及其应用 375

习题9.3 381

9.4对称算子与正规算子 382

9.4.1对称算子的刻画 382

9.4.2对称算子的化简 383

9.4.3应用：二次型的正交合同（相似）化简 386

9.4.4实正规矩阵及其线性算子 390

习题9.4 393

9.5酉空间 394

9.5.1酉空间的基本概念 394

9.5.2酉空间的标准正交基 395

9.5.3共轭算子与正规算子 397

9.5.4酉算子与Hermite算子 400

习题9.5 402

9.6谱分解及其应用 404

9.6.1谱分解定理 404

9.6.2半正定平方根与极分解 406

9.6.3复矩阵的奇异值分解 407

习题9.6 409

第10章 双线性度量空间 411

10.1对偶空间 411

10.1.1线性函数 411

10.1.2对偶空间 413

10.1.3自反性 415

10.1.4线性无关性的刻画 417

习题10.1 419

10.2双线性函数 420

10.2.1基本定义 420

10.2.2度量矩阵 422

10.2.3根子空间与非退化双线性函数 424

10.2.4对称、斜对称双线性函数 426

习题10.2 429

10.3正交空间 430

10.3.1基本概念 430

10.3.2正交基 431

10.3.3等距同构及正交算子 432

10.3.4 Minkowski空间 434

10.3.5 Witt定理 437

习题10.3 439

10.4辛空间 439

10.4.1斜对称双线性函数的化简 440

10.4.2辛空间的基本概念 441

10.4.3辛正交补 442

10.4.4 辛算子 444

习题10.4 447

10.5张量积 448

10.5.1向量空间的张量积 448

10.5.2线性算子的张量积 451

习题10.5 453

参考文献 455