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第一章 线性方程组的解法 1

引例 交通流量问题 1

第一节 线性方程组的消元法 1

一、线性方程组的概念 1

二、线性方程组的消元法 2

思考题一 4

第二节 矩阵及其初等行变换 4

一、矩阵 4

二、矩阵的初等行变换 6

思考题二 11

第三节 应用举例 11

一、引例解答 11

二、化学方程式的平衡 12

三、封闭的列昂季耶夫（Leontief， W.）投入-产出模型 12

习题一 14

第二章 行列式 16

引例 插值问题 16

第一节n阶行列式 17

一、二阶与三阶行列式 17

二、n阶行列式 18

思考题一 21

第二节 行列式性质与展开定理 22

一、行列式的性质 22

二、行列式按行（或列）展开定理 26

思考题二 31

第三节 克拉默法则 31

思考题三 34

第四节 应用举例 34

一、引例解答 34

二、平行六面体的体积 34

三、平面上两点式直线方程 35

习题二 36

第三章 矩阵 41

引例 密码问题 41

第一节 矩阵的基本运算 41

一、特殊矩阵 43

二、矩阵的相等 43

三、数乘矩阵 43

四、矩阵加法 44

五、矩阵乘法 44

六、矩阵的转置 48

思考题一 49

第二节 逆矩阵 50

一、伴随矩阵 50

二、逆矩阵及其性质 51

思考题二 55

第三节 分块矩阵 55

一、分块矩阵的定义 55

二、分块矩阵的运算 56

三、分块对角矩阵 58

思考题三 59

第四节 矩阵的初等变换 59

一、矩阵的初等变换与矩阵的等价 59

二、初等矩阵 60

三、求逆矩阵的初等行变换法 62

思考题四 64

第五节 矩阵的秩 64

一、矩阵秩的定义 64

二、矩阵秩的计算 65

三、矩阵秩的性质 66

思考题五 67

第六节 线性方程组解的理论 67

一、齐次线性方程组解的理论 68

二、非齐次线性方程组解的理论 69

思考题六 72

第七节 应用举例 73

一、引例解答 73

二、网络与图 74

三、人口迁徙问题 75

习题三 75

第四章向量组的线性相关性 84

引例 食品调味料配置问题 84

第一节 向量及其线性表示 85

一、n维向量的概念 85

二、向量的线性运算 85

三、向量的线性组合与线性表示 86

思考题一 87

第二节 向量组的线性相关性 88

一、向量组的线性相关与线性无关 88

二、向量组线性相关的性质 90

思考题二 92

第三节 向量组的秩 93

一、向量组的极大无关组 93

二、向量组的秩 94

思考题三 95

第四节 向量空间 96

一、向量空间及其有关概念 96

二、向量空间的基和维数，向量的坐标 97

三、基变换与坐标变换 99

思考题四 100

第五节 线性方程组解的结构 100

一、齐次线性方程组解的结构 101

二、非齐次线性方程组解的结构 104

思考题五 106

第六节 应用举例 107

一、引例解答 107

二、减肥配方 108

三、马尔可夫链 109

习题四 110

第五章 矩阵的相似对角化 116

引例 遗传问题 116

第一节 特征值与特征向量 116

一、特征值与特征向量的概念及求法 116

二、特征值和特征向量的性质 119

思考题一 123

第二节 相似矩阵 123

一、相似矩阵的概念与性质 123

二、矩阵与对角矩阵相似的条件 125

思考题二 128

第三节 实对称矩阵的对角化 128

一、实向量的内积、施密特正交化方法与正交矩阵 128

二、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 133

三、实对称矩阵的对角化 133

思考题三 136

第四节 应用举例 137

一、引例解答 137

二、再论马尔可夫链 138

三、环境保护与工业发展 139

习题五 139

第六章 实二次型 148

引例 二次曲面的研究 148

第一节 实二次型及其标准形 148

一、二次型的概念 148

二、二次型的矩阵表示形式 149

思考题一 149

第二节 化实二次型为标准形 150

一、线性变换 150

二、用配方法化二次型为标准形 150

三、用正交变换法化二次型为标准形 152

思考题二 154

第三节 正定二次型 154

思考题三 155

第四节 应用举例 156

一、引例解答 156

二、二次曲线的研究 156

三、多元函数的最值 157

习题六 158

附录 160

MATLAB实验一 矩阵运算与数组运算 160

练习一 166

MATLAB实验二 矩阵与线性方程组 166

练习二 170

参考文献 172