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基础篇 3

第一章 微分流形 3

1.1 微分流形 3

1.1.1 微分流形 3

1.1.2 微分流形的例子 3

1.2 向量场与张量场 5

1.2.1 向量丛 5

1.2.2 张量场 7

1.3 外形式与外微分 8

1.3.1 外微分算子 8

1.3.2 de Rham定理 9

1.4 向量丛和联络 10

1.4.1 量丛的联络 10

1.4.2 联络的曲率 11

习题 12

第二章 芬斯勒度量 14

2.1 芬斯勒度量 14

2.1.1 芬斯勒度量 14

2.1.2 芬斯勒度量的例子 16

2.2 嘉当挠率 21

2.2.1 嘉当挠率 21

2.2.2 Deicke定理 22

2.3 希尔伯特形式和喷射 25

2.3.1 希尔伯特形式 25

2.3.2 喷射 27

2.4 测地线 28

2.4.1 测地线 28

2.4.2 测地系数 29

2.4.3 测地完备性 31

习题 33

第三章 联络与曲率 35

3.1 联络 35

3.1.1 陈联络 35

3.1.2 Berwald度量和Landsberg度量 38

3.2 曲率 39

3.2.1 陈联络的曲率形式 39

3.2.2 旗曲率和Ricci曲率 41

3.3 Bianchi恒等式 42

3.3.1 共变微分 42

3.3.2 Bianchi恒等式 45

3.3.3 其他公式 47

3.4 Legendre变换 48

3.4.1 对偶空间的对偶模 48

3.4.2 Legendre变换 50

习题 52

第四章 S曲率 53

4.1 体积测度 53

4.1.1 Busemann-Hausdorff体积元 53

4.1.2 射影球丛SM诱导的体积元 56

4.2 S曲率 58

4.2.1 畸变 58

4.2.2 S曲率和E曲率 59

4.3 迷向S曲率 62

4.3.1 迷向S曲率和迷向E曲率 62

4.3.2 迷向S曲率的Randers度量 63

4.3.3 测地流 66

习题 68

第五章 黎曼曲率 70

5.1 弧长的第二变分 70

5.1.1 第二变分 70

5.1.2 曲率与拓扑初步 73

5.2 数量旗曲率 75

5.2.1 Schur定理 76

5.2.2 常数旗曲率 78

5.3 整体刚性结果 81

5.3.1 特殊旗曲率条件 81

5.3.2 非正旗曲率流形 84

5.4 导航术 86

5.4.1 导航问题 86

5.4.2 Randers度量与导航术 91

5.4.3 Ricci曲率和爱因斯坦度量 96

习题 104

研究篇 107

第六章 射影变换 107

6.1 射影等价 107

6.1.1 射影等价 107

6.1.2 射影不变量 109

6.2 射影平坦度量 113

6.2.1 射影平坦度量 113

6.2.2 常旗曲率的射影平坦度量 115

6.3 具有殆迷向S曲率的射影平坦度量 125

6.3.1 具有殆迷向S曲率的Randers度量 125

6.3.2 具有殆迷向S曲率的射影平坦度量 129

6.4 射影等价的特殊芬斯勒度量 132

6.4.1 射影等价的Randers度量 132

6.4.2 （α,β）度量的射影等价 135

6.4.3 二次（α,β）度量的射影等价 139

习题 141

第七章 比较定理 143

7.1 芬斯勒流形的体积比较定理 143

7.1.1 指数映射的Jacobi 143

7.1.2 距离函数和比较定理 148

7.1.3 体积比较定理 150

7.2 Berger-Kazdan比较定理 160

7.2.1 Kazdan不等式 160

7.2.2 可反芬斯勒流形的刚性 165

7.2.3 Berger-Kazdan比较定理 170

习题 174

第八章 芬斯勒流形的基本群 176

8.1 芬斯勒流形的基本群 176

8.1.1 基本群与覆盖空间 176

8.1.2 代数模和几何模 179

8.1.3 基本群的增长 183

8.2 基本群的熵和有限性 189

8.2.1 基本群的熵 189

8.2.2 第一Betti数 192

8.2.3 基本群的有限性 196

8.3 Gromov预紧性定理 202

8.3.1 广义度量空间 202

8.3.2 δ-Gromov-Hausdorff收敛性 207

8.3.3 芬斯勒流形的预紧性 213

习题 215

第九章 极小浸入与调和映射 216

9.1 等距浸入 216

9.1.1 芬斯勒子流形 216

9.1.2 体积变分 219

9.1.3 紧致极小子流形的不存在性 223

9.2 极小子流形的刚性 224

9.2.1 Minkowski空间的极小曲面 224

9.2.2 （α,β）空间中的极小曲面 228

9.2.3 特殊Minkowski-（α,β）空间的极小曲面 231

9.3 调和映射 236

9.3.1 散度公式 236

9.3.2 调和映射 239

9.3.3 复合映射 243

9.4 调和映射的第二变分 246

9.4.1 第二变分 246

9.4.2 应力－能量张量 249

9.5 复芬斯勒流形的调和映射 251

9.5.1 复芬斯勒流形 251

9.5.2 复芬斯勒流形的调和映射 255

9.5.3 全纯映射 261

习题 263

第十章 爱因斯坦度量 266

10.1 射影刚性和m次根度量 266

10.1.1 爱因斯坦度量的射影刚性 266

10.1.2 m次根爱因斯坦度量 269

10.2 Ricci刚性和Douglas爱因斯坦度量 271

10.2.1 Ricci刚性 271

10.2.2 Douglas（α,β）度量 272

10.3 爱因斯坦（α,β）度量 276

10.3.1 多项式（α,β）度量 276

10.3.2 Kropina度量 278

习题 287

第十一章 其他有关论题 289

11.1 共形变换 289

11.1.1 共形变换 289

11.1.2 共形平坦度量 292

11.1.3 共形平坦（α,β）度量 297

11.2 共形向量场 299

11.2.1 共形向量场 299

11.2.2 Randers流形的共形向量场 306

11.3 一类临界芬斯勒度量 312

11.3.1 爱因斯坦－希尔伯特泛函 312

11.3.2 某些特殊的ε临界度量 316

11.4 芬斯勒Laplacian的第一特征值 318

11.4.1 芬斯勒Laplacian和带权Ricci曲率 318

11.4.2 Lichnerowicz-Obata型估计 321

11.4.3 Li-Yau－杨－钟型估计 326

11.4.4 Mckean型估计 330

习题 331

附录 Maple计算程序 332

参考文献 343

索引 353