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第1章 行列式 1

1.1 全排列与逆序数 1

1.1.1 全排列与逆序数 1

1.1.2 对换 2

1.2 行列式的定义 3

1.2.1 二、三阶行列式 3

1.2.2 n阶行列式的定义 7

1.3 行列式的性质 10

1.4 行列式按行（列）展开 17

1.5 克拉默法则 23

习题1 26

第2章 矩阵及其运算 30

2.1 矩阵的概念 30

2.1.1 矩阵的定义 30

2.1.2 几种特殊的矩阵 30

2.2 矩阵的运算 32

2.2.1 矩阵的加法与数乘 32

2.2.2 矩阵的乘法 34

2.2.3 矩阵的转置 37

2.2.4 方阵的行列式 39

2.3 逆矩阵 40

2.3.1 逆矩阵的定义及其性质 40

2.3.2 方阵A可逆的充要条件及A-1的求法 41

2.4 分块矩阵 44

2.4.1 分块矩阵的概念 44

2.4.2 分块矩阵的运算 45

2.5 初等变换与初等矩阵 48

2.5.1 矩阵的初等变换 49

2.5.2 初等矩阵 50

2.6 矩阵的秩 56

2.6.1 矩阵秩的定义 56

2.6.2 矩阵秩的性质 56

2.6.3 利用初等变换求矩阵的秩 57

2.7 应用实例 58

2.7.1 图的邻接矩阵的应用 58

2.7.2 矩阵在密码学中的应用实例 61

习题2 63

第3章 线性方程组与向量组 67

3.1 线性方程组 67

3.1.1 引例 68

3.1.2 非齐次线性方程组 68

3.1.3 齐次线性方程组 74

3.2 向量组及其线性组合 78

3.2.1 向量及其运算 78

3.2.2 向量组及其线性表示 80

3.2.3 向量组的等价 82

3.3 向量组的线性相关性 84

3.3.1 线性相关性的概念 84

3.3.2 线性相关性的判定 86

3.4 向量组的秩 91

3.4.1 最大无关组 91

3.4.2 向量组的秩 92

3.4.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系 93

3.5 齐次线性方程组解的结构 95

3.5.1 解的性质 95

3.5.2 解的结构 96

3.6 非齐次线性方程组解的结构 100

3.6.1 解的性质 101

3.6.2 解的结构 101

3.7 应用举例 104

3.7.1 线性规划 104

3.7.2 应用线性方程组计算立体电路的问题 106

习题3 108

第4章 特征值和特征向量 114

4.1 向量的内积 114

4.1.1 向量的内积、长度 114

4.1.2 正交向量组、正交矩阵 115

4.1.3 正交变换 118

4.2 特征值和特征向量 119

4.2.1 特征值与特征向量的概念 119

4.2.2 特征值和特征向量的计算 120

4.2.3 特征值和特征向量的性质 122

4.3 相似矩阵 124

4.3.1 相似矩阵的概念和性质 124

4.3.2 方阵的相似对角化 125

4.4 实对称矩阵的相似对角化 128

4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 128

4.4.2 实对称矩阵正交相似对角化 130

4.5 应用举例 134

4.5.1 某生产线职工比例模型 134

4.5.2 污染与工业发展的工业增长模型 135

习题4 136

第5章 二次型 139

5.1 二次型及其矩阵表示 139

5.1.1 二次型的基本概念 139

5.1.2 线性变换 141

5.2 二次型的标准形 142

5.2.1 利用正交变换化二次型为标准形 142

5.2.2 利用配方法化二次型为标准形 146

5.3 正定二次型 148

5.3.1 正定二次型 148

5.3.2 正定二次型的判定 150

5.4 应用举例 152

5.4.1 二次曲面的标准方程 152

5.4.2 多元函数的极值 154

习题5 155

习题参考答案 158