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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 实数集的相关概念 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的几种基本特性 4

1.1.4 反函数 5

1.1.5 复合函数 6

1.1.6 初等函数 7

习题1-1 8

1.2 数列的极限 9

1.2.1 数列 9

1.2.2 数列的极限 10

1.2.3 收敛数列的性质 12

习题1-2 13

1.3 函数的极限 13

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 13

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 15

1.3.3 函数极限的性质 18

习题1-3 18

1.4 无穷大与无穷小 19

1.4.1 无穷大和无穷小 19

1.4.2 无穷小的运算性质 22

1.4.3 无穷小的比较 23

1.4.4 曲线的渐近线 24

习题1-4 26

1.5 极限的四则运算法则 26

习题1-5 29

1.6 极限存在准则与两个重要极限 30

1.6.1 两个极限存在准则 30

1.6.2 两个重要极限 30

习题1-6 33

1.7 函数的连续性 33

1.7.1 函数连续性的概念 33

1.7.2 函数的间断点 35

1.7.3 连续函数的运算性质和初等函数的连续性 35

习题1-7 37

1.8 闭区间上连续函数的性质 37

习题1-8 39

总习题1 39

第2章 一元函数微分学 42

2.1 导数的概念 42

2.1.1 引例 42

2.1.2 导数的定义 43

2.1.3 求导数举例 45

2.1.4 导数的几何意义 46

2.1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 47

习题2-1 48

2.2 函数和、差、积、商的求导法则 49

习题2-2 51

2.3 反函数和复合函数的求导法则 52

2.3.1 反函数的求导法则 52

2.3.2 复合函数的求导法则 53

习题2-3 55

2.4 基本求导公式和初等函数求导数举例 55

2.4.1 基本求导法则 55

2.4.2 基本求导公式 55

2.4.3 初等函数求导数举例 56

习题2-4 56

2.5 高阶导数 57

习题2-5 58

2.6 隐函数与参数方程所确定的函数的导数 58

2.6.1 隐函数的求导法 58

2.6.2 由参数方程所确定的函数的导数 59

习题2-6 60

2.7 函数的微分 61

2.7.1 微分的概念 61

2.7.2 微分公式与微分运算法则 63

2.7.3 复合函数的微分法则 63

习题2-7 64

2.8 微分在近似计算中的应用 64

习题2-8 66

总习题2 66

第3章 微分中值定理与导数的应用 68

3.1 微分中值定理 68

3.1.1 罗尔中值定理 68

3.1.2 拉格朗日中值定理 69

3.1.3 柯西中值定理 71

习题3-1 71

3.2 洛必达法则 72

3.2.1 0/0型未定式的极限 72

3.2.2 ∞/∞型未定式的极限 74

3.2.3 其他类型未定式的极限 75

习题3-2 76

3.3 泰勒中值定理 76

习题3-3 80

3.4 函数的单调性 81

习题3-4 83

3.5 函数的极值 84

习题3-5 88

3.6 函数的最大值和最小值 88

习题3-6 91

3.7 曲线的凹凸性与拐点 92

习题3-7 95

3.8 函数图形的描绘 96

习题3-8 98

3.9 方程的近似解法——牛顿迭代法 99

习题3-9 102

总习题3 102

第4章 不定积分 105

4.1 不定积分的概念及其基本性质 105

4.1.1 原函数与不定积分 105

4.1.2 不定积分的基本性质 109

4.1.3 不定积分的基本公式 109

习题4-1 111

4.2 换元积分法 112

4.2.1 第一类换元法 112

4.2.2 第二类换元法 115

习题4-2 118

4.3 分部积分法 119

习题4-3 121

4.4 不定积分的应用举例 122

习题4-4 124

总习题4 125

第5章 定积分及其应用 127

5.1 定积分的概念与性质 127

5.1.1 定积分问题举例 127

5.1.2 定积分的定义 129

5.1.3 定积分的几何意义 131

5.1.4 定积分的性质 132

习题5-1 135

5.2 牛顿-莱布尼茨公式 136

5.2.1 积分上限函数及其导数 136

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 138

习题5-2 139

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 140

5.3.1 定积分的换元积分法 140

5.3.2 定积分的分部积分法 143

习题5-3 145

5.4 定积分的应用 147

5.4.1 微元法 147

5.4.2 平面图形的面积 149

5.4.3 旋转体的体积 153

5.4.4 平面曲线的弧长 154

5.4.5 定积分在物理中的应用举例 158

习题5-4 161

5.5 反常积分 162

5.5.1 无穷限反常积分 162

5.5.2 无界函数的反常积分 164

5.5.3 反常积分应用举例 165

5.5.4 Γ函数 166

习题5-5 168

总习题5 169

第6章 多元函数微分学 172

6.1 预备知识 172

6.1.1 空间直角坐标系与空间的点 172

6.1.2 空间曲面及其方程 174

6.1.3 平面点集的基本概念 177

习题6-1 179

6.2 多元函数的概念 179

6.2.1 二元函数 179

6.2.2 n元函数 181

习题6-2 182

6.3 二元函数的极限与连续 183

6.3.1 二元函数的极限 183

6.3.2 二元函数的连续性 184

6.3.3 闭区域上连续函数的性质 186

习题6-3 186

6.4 偏导数 187

6.4.1 偏导数的概念 187

6.4.2 高阶偏导数 189

习题6-4 190

6.5 全微分及其应用 191

6.5.1 全微分的概念 191

6.5.2 全微分在近似计算中的应用 194

习题6-5 195

6.6 复合函数与隐函数的微分法 195

6.6.1 多元复合函数的求导法则 195

6.6.2 隐函数的求导法则 199

习题6-6 201

6.7 多元函数的极值 202

6.7.1 无条件极值 202

6.7.2 条件极值与拉格朗日乘数法 206

习题6-7 208

总习题6 208

第7章 二重积分 213

7.1 二重积分的概念与性质 213

7.1.1 二重积分的概念 213

7.1.2 二重积分的几何意义 216

7.1.3 二重积分的性质 217

习题7-1 218

7.2 二重积分的计算 218

7.2.1 利用直角坐标计算二重积分 219

7.2.2 利用极坐标计算二重积分 224

习题7-2 229

7.3 二重积分应用举例 230

7.3.1 曲面的面积 230

7.3.2 立体体积 232

7.3.3 平面薄片的重心 233

7.3.4 平面薄片的转动惯量 235

习题7-3 237

总习题7 237

第8章 微分方程 240

8.1 微分方程的基本概念 240

8.1.1 引例 240

8.1.2 微分方程的概念 241

习题8-1 243

8.2 可分离变量的微分方程 243

习题8-2 245

8.3 一阶线性微分方程 246

8.3.1 一阶齐次线性微分方程的通解 246

8.3.2 一阶非齐次线性微分方程的通解 247

习题8-3 249

8.4 用变量代换法解微分方程 249

8.4.1 齐次方程 249

8.4.2 伯努利方程 251

8.4.3 可化为齐次方程的一类微分方程 252

8.4.4 几种特殊类型的高阶方程 254

习题8-4 256

8.5 线性微分方程解的结构 257

8.5.1 基本概念 257

8.5.2 函数组的线性相关性 258

8.5.3 线性微分方程解的结构 258

习题8-5 261

8.6 二阶常系数线性微分方程 261

8.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 262

8.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 265

习题8-6 272

总习题8 273

第9章 无穷级数 276

9.1 常数项级数 276

9.1.1 常数项级数的概念 276

9.1.2 收敛级数的基本性质 279

习题9-1 280

9.2 常数项级数的审敛法 280

9.2.1 正项级数及其审敛法 280

9.2.2 交错级数及其审敛法 285

9.2.3 级数的绝对收敛与条件收敛 286

习题9-2 288

9.3 幂级数 289

9.3.1 函数项级数的概念 289

9.3.2 幂级数及其敛散性 291

9.3.3 幂级数的运算性质 296

习题9-3 298

9.4 函数展开成幂级数 299

9.4.1 泰勒级数 299

9.4.2 函数展开成幂级数 302

9.4.3 幂级数在近似计算中的应用举例 306

习题9-4 307

9.5 傅里叶级数 308

9.5.1 三角级数的概念 308

9.5.2 函数展开成傅里叶级数 310

9.5.3 函数展开成正弦级数或余弦级数 313

9.5.4 周期为2l的函数的傅里叶级数 316

习题9-5 318

总习题9 318

第10章 数学模型简介 321

10.1 数学模型的有关概念 321

10.1.1 数学模型的定义 321

10.1.2 数学建模的一般方法和步骤 322

10.2 数学建模举例 324

10.2.1 交通管理中亮黄灯的时间问题 324

10.2.2 耐用新产品销售量问题 326

10.2.3 最优捕鱼策略问题 327

10.2.4 湖水污染问题 330

10.2.5 传染病模型 335

总习题10 340

附录 积分表 342

习题参考答案 349

参考文献 375