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第一篇 高等数学 1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法 1

一、本章知识串讲 1

二、大纲考查要点诠释 1

（一）函数 1

（二）极限的概念与性质 3

（三）极限的存在与不存在问题 4

（四）无穷小及其阶 6

（五）函数的连续性及其判断 8

（六）求极限的方法 10

三、典型题型分析及解题方法与技巧 17

题型（一）求反函数 17

题型（二）求复合函数 17

题型（三）利用函数概念求函数表达式 18

题型（四）求0/0型或∞/∞型的极限 18

题型（五）求0∞或∞-∞型的极限 20

题型（六）求指数型（1∞，00，∞0）的极限 21

题型（七）求含变限积分的不定式的极限 21

题型（八） 由极限值确定函数式中的参数 22

题型（九）利用夹逼法求极限 23

题型（十）求n项和数列的极限 23

题型（十一）求n项积数列的极限 24

题型（十二）求递归数列的极限 25

题型（十三） 利用函数极限求数列极限 26

题型（十四）无穷小的比较与无穷小的阶的确定 27

题型（十五）讨论函数的连续性与间断点的类型 28

题型（十六）极限的证明题 29

自测题及参考答案 29

第二章 导数与微分概念及其计算 31

一、本章知识串讲 31

二、大纲考查要点诠释 31

（一）一元函数的导数与微分 31

（二）多元函数的偏导数、方向导数与全微分 35

（三）按定义求导 38

（四）基本初等函数导数表与导数四则运算法则 38

（五）复合函数的微分法则 39

（六）由复合函数求导法则导出的微分法则 41

（七）复合函数求导法则的应用 ——变量替换下的偏导数计算 46

（八）分段函数求导法 46

（九）高阶导数及n阶导数的求法 48

（十）方向导数的计算（数二不要求） 50

三、典型题型分析及解题方法与技巧 51

题型（一）有关一元函数的导数与微分概念的命题 51

题型（二）一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论 51

题型（三）求一元各类函数的导数与微分 53

题型（四）变限积分的求导 57

题型（五）一元函数求导与求微分的综合题 58

题型（六）求一元函数的n阶导数 59

题型（七）一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论 59

题型（八）有关多元函数偏导数与全微分概念的命题 61

题型（九）求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分 62

题型（十）变量替换下方程式的变形（数二不要求） 67

题型（十一）求二元、三元函数的梯度与方向导数（数二不要求） 67

题型（十二）有关多元函数的综合题（数二不要求） 68

自测题及参考答案 69

第三章 一元函数积分及其计算 72

一、本章知识串讲 72

二、大纲考查要点诠释 72

（一）一元函数积分的概念、性质与基本定理 72

（二）积分法则 77

（三）按函数类的积分法 85

（四）广义积分 88

三、典型题型分析及解题方法与技巧 89

题型（一）有关原函数与定积分概念的命题 89

题型（二）积分值的比较或判断积分值的符号 90

题型（三）估计积分值 91

题型（四）有关原函数的存在性问题 91

题型（五）求分段函数的原函数 93

题型（六）各类被积函数不定积分的计算 93

题型（七）各类被积函数定积分的计算 95

题型（八）利用若干积分技巧计算积分 98

题型（九）求形如∫ba（f（x）∫xa g（y）dy）dx的积分 100

题型（十） 由函数方程求积分 101

题型（十一）广义积分的计算 102

题型（十二）证明积分等式 103

题型（十三）证明积分不等式 104

题型（十四）关于变限积分的讨论 107

题型（十五）综合题 108

自测题及参考答案 110

第四章 微分学中的基本定理及其应用 112

一、本章知识串讲 112

二、大纲考查要点诠释 112

（一）连续函数的性质 112

（二）微分中值定理及其应用 114

（三）利用导数研究函数的变化 115

（四）微分中值定理的其它应用 120

（五）一元函数的泰勒公式及其应用 120

（六）多元函数极值充分判别法 122

三、典型题型分析及解题方法与技巧 123

题型（一）有关连续函数性质的命题 123

题型（二）有关利用导数研究函数的变化的命题 125

题型（三）有关泰勒公式及其应用的命题 130

题型（四）讨论函数的零点 132

题型（五） 用微分学的方法证明不等式 141

题型（六）有关泰勒公式的中值θ的性质的命题 148

自测题及参考答案 150

第五章 向量代数和空间解析几何 152

一、本章知识串讲 152

二、大纲考查要点诠释 152

（一）空间直角坐标系 152

（二）向量的概念 152

（三）向量的运算 153

（四）平面方程、直线方程 156

（五）平面、直线之间相互关系的问题 157

（六）常用二次曲面的方程及其图形 158

（七）空间曲线在坐标平面上的投影 160

三、典型题型分析及解题方法与技巧 160

题型（一） 向量的运算 160

题型（二）求平面方程 161

题型（三）求空间的直线方程 163

题型（四）求点、直线、平面间的关系 164

题型（五）求投影方程 165

题型（六）求曲面方程 166

自测题及参考答案 167

第六章 多元函数积分及其计算 168

一、本章知识串讲 168

二、大纲考查要点诠释 168

（一）多元函数积分的概念与性质 168

（二）在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 172

（三）重积分的变量替换 178

（四）如何应用多元函数积分的计算公式及如何简化计算 183

三、典型题型分析及解题方法与技巧 192

题型（一）积分值的比较与估计 192

题型（二）有关多元函数积分的概念与性质的命题 193

题型（三）对称性的应用 195

题型（四）交换积分顺序与计算累次积分 199

题型（五） 两种坐标系中累次积分的转换 202

题型（六）二重积分的计算 202

题型（七）三重积分的计算 206

题型（八）曲线积分的计算 209

题型（九） 曲面积分的计算 211

题型（十）证明题与综合题 213

自测题及参考答案 216

第七章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 217

一、本章知识串讲 217

二、大纲考查要点诠释 217

1．多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 217

2．向量场的通量与散度，环流量与旋度 218

3．格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 的一个应用——简化多元函数积分的计算 220

4．用线积分表示平面区域的面积，用面积分表示空间区域的体积 223

5．平面上曲线积分与路径无关问题 224

三、典型题型分析及解题方法与技巧 228

题型（一）格林公式、高斯公式与斯托克斯公式在计算多元函数积分中的应用 228

题型（二）平面上第二类曲线积分与路径无关问题与原函数的求法 232

题型（三）散度与旋度的计算 235

题型（四）综合题 236

自测题及参考答案 239

第八章 微积分学的应用 240

一、本章知识串讲 240

二、大纲考查要点诠释 240

（一）微分学的几何应用 240

（二）积分学应用的基本方法——微元分析法 244

（三）积分学的几何应用 244

（四）一元函数积分学的物理应用 252

（五）多元函数积分学的物理应用（数二不要求） 254

（六）一元函数的最大值与最小值问题 257

（七）多元函数的最大值与最小值问题 259

三、典型题型分析及解题方法与技巧 261

题型（—）一元函数微积分的几何应用 261

题型（二）一元微积分的物理应用 268

题型（三）一元函数的最值问题 270

题型（四）综合题 272

题型（五）多元函数微积分的几何应用（数二不要求） 274

题型（六）多元函数积分学的物理应用（数二不要求） 278

题型（七）多元函数的最值问题 281

题型（八）综合题（数二不要求） 283

自测题及参考答案 284

第九章 无穷级数 286

一、本章知识串讲 286

二、大纲考查要点诠释 286

（一）常数项级数的概念与基本性质 286

（二）正项级数敛散性的判定 287

（三）交错级数的敛散性判别法 288

（四）绝对收敛与条件收敛 289

（五）函数项级数的收敛域与和函数 289

（六）幂级数的收敛域 290

（七）幂级数的运算与和函数的性质 291

（八）函数的幂级数展开 292

（九）幂级数在近似计算上的简单应用 293

（十）傅里叶级数 293

三、典型题型分析及解题方法与技巧 296

题型（一）常数项级数敛散性的判定 296

题型（二）求一般函数项级数的收敛域 301

题型（三）幂级数有关问题的讨论 302

题型（四）常数项级数求和 306

题型（五）有关傅里叶级数的命题 308

题型（六）证明题与综合题 311

自测题及参考答案 314

第十章 微分方程 316

一、本章知识串讲 316

二、大纲考查要点诠释 316

（一）基本概念 316

（二）一阶微分方程 317

（三）可降阶的高阶方程 320

（四）线性微分方程解的性质与结构 321

（五）二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程 322

（六）二阶常系数非齐次线性方程 323

（七）可化为求解微分方程的两类问题 324

（八）一阶常系数线性方程组（数二不要求） 325

（九）幂级数解法 326

（十）应用问题 326

三、典型题型分析及解题方法与技巧 327

题型（一）变量可分离的方程与齐次方程的求解 327

题型（二）通过简单代换化为变量可分离的方程的求解（数二不要求） 327

题型（三）一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解 328

题型（四） 全微分方程与可化为全微分方程的求解（数二不要求） 329

题型（五） 可降阶的高阶微分方程的求解 330

题型（六）二阶线性常系数方程的求解 331

题型（七）特殊的变系数二阶线性方程的求解 332

题型（八） 已知特解求通解 333

题型（九）含变限积分方程的求解 333

题型（十）综合题与证明题 334

题型（十一）有关微分方程应用题的求解 334

自测题及参考答案 337

第二篇 线性代数 340

第一章 行列式 340

一、本章知识串讲 340

二、大纲考查要点诠释 340

1．行列式的概念 340

2．行列式按行（列）展开公式 341

3．行列式的性质 342

4．几个重要公式 343

三、典型题型分析及解题方法与技巧 344

题型（一）有关行列式的概念与性质的命题 344

题型（二）行列式的计算 347

题型（三）含参数行列式的计算 351

题型（四）关于｜ A ｜＝0的证明 352

自测题及参考答案 353

第二章 矩阵及其运算 355

一、本章知识串讲 355

二、大纲考查要点诠释 355

1．矩阵的概念 355

2．几类特殊方阵 355

3．矩阵的运算 356

4．关于逆矩阵的运算规律 357

5．关于矩阵转置的运算规律 357

6．关于伴随矩阵的运算规律 357

7．矩阵A可逆的充分必要条件 357

8．初等变换 357

9．初等矩阵 358

10．矩阵的等价 358

11．矩阵方程 358

三、典型题型分析及解题方法与技巧 358

题型（一）有关矩阵的概念及运算 358

题型（二）求方阵的幂 360

题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵 362

题型（四）有关初等矩阵的命题 364

题型（五）矩阵可逆的计算与证明 365

题型（六）求解矩阵方程 368

自测题及参考答案 371

第三章 n维向量与向量空间 374

一、本章知识串讲 374

二、大纲考查要点诠释 374

1．n维向量的概念与运算 374

2．线性组合与线性表出 374

3．线性相关与线性无关 375

4．线性相关与线性表出 376

5．向量组的秩与矩阵的秩 376

6．矩阵秩的重要公式 376

7．向量空间与子空间 377

8．基、维数、坐标 377

9．基变换与坐标变换 377

10．标准正交基与Schmidt正交化 378

三、典型题型分析及解题方法与技巧 378

题型（一）线性组合、线性相关的判别 378

题型（二）线性相关与线性无关的证明 382

题型（三）求秩与极大线性无关组 386

题型（四）有关秩的证明 389

题型（五）关于A＝0的证明 390

题型（六）有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题 391

题型（七）求过渡矩阵及坐标变换 392

题型（八）求标准正交基 393

题型（九）有关秩与直线平面的综合题 394

自测题及参考答案 396

第四章 线性方程组 399

一、本章知识串讲 399

二、大纲考查要点诠释 399

1．线性方程组的各种表达形式 399

2．齐次方程组Ax＝0恒有解（必有零解） 399

3．如η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系 399

4．齐次方程组有非零解的判定 400

5．非齐次线性方程组有解的判定 400

6．非齐次线性方程组解的结构 400

7．克莱姆（Cramer）法则 400

三、典型题型分析及解题方法与技巧 401

题型（一）线性方程组解的基本概念 401

题型（二）线性方程组的求解 404

题型（三）含有参数的方程组解的讨论 405

题型（四）有关基础解系的证明 406

题型（四）有关线性方程组的证明题 408

自测题及参考答案 411

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 414

一、本章知识串讲 414

二、大纲考查要点诠释 414

1．矩阵的特征值与特征向量的概念 414

2．特征值与特征向量的求法 414

3．特征值与特征向量的性质 415

4．相似矩阵的概念与性质 415

5．矩阵可相似对角化的充分必要条件 415

6．化A为对角矩阵A的解题步骤 416

7．实对称矩阵必可对角化 416

三、典型题型分析及解题方法与技巧 416

题型（一）求矩阵的特征值和特征向量 416

题型（二）用特征值和特征向量反求矩阵A 421

题型（三）求矩阵A中的参数 423

题型（四） n阶矩阵A能否对角化的判定 424

题型（五）求矩阵A的相似标准形 425

题型（六）求相似时的矩阵P 427

题型（七）相似对角化的应用 428

题型（八）有关特征值与特征向量的证明 430

自测题及参考答案 431

第六章 二次型 434

一、本章知识串讲 434

二、大纲考查要点诠释 434

1．二次型及其矩阵表示 434

2．二次型的标准形 434

3．惯性定理 435

4．合同矩阵 436

5．正定二次型与正定矩阵 436

三、典型题型分析及解题方法与技巧 436

题型（一）有关二次型基本概念的命题 436

题型（二）化二次型为标准形 438

题型（三）求解二次型标准形的逆问题 442

题型（四）判别二次型的正定性 443

题型（五）有关正定性的证明 444

题型（六）有关正定矩阵的综合题 445

自测题及参考答案 446

第三篇 概率统计 448

第一章 随机事件与概率 448

一、本章知识串讲 448

二、大纲考查要点诠释 448

（一） 随机事件的关系与运算 448

（二）随机事件的概率 449

（三）条件概率与全概率公式 451

（四）事件的独立性与伯努利公式 452

三、典型题型分析及解题方法与技巧 453

题型（一） 随机事件间的关系与运算 453

题型（二）有关概率的定义与性质的命题 454

题型（三）利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率 457

自测题及参考答案 461

第二章 随机变量的分布与数字特征 464

一、本章知识串讲 464

二、大纲考查要点诠释 464

1．随机变量 464

2．分布函数 464

3．离散型随机变量 465

4．连续型随机变量 465

5．几个常见分布 466

6．随机变量函数的分布 468

7．一维随机变量的数字特征 468

三、典型题型分析及解题方法与技巧 469

题型（一）确定随机变量概率分布中的未知参数 469

题型（二）确定随机变量的概率分布 471

题型（三）求随机变量函数的分布 474

题型（四）随机变量数字特征的计算 477

题型（五）综合应用题 479

自测题及参考答案 483

第三章 二维随机变量的概率分布及其数字特征 486

一、本章知识串讲 486

二、大纲考查要点诠释 486

1．二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 486

2．二维离散型随机变量 486

3．二维连续型随机变量 487

4．二维随机变量的条件分布 488

5．两个常见的二维连续型随机变量的分布 489

6．二维随机变量的协方差、相关系数与相互独立性 490

7．随机变量的矩 492

8．二维随机变量函数的分布 492

三、典型题型分析及解题方法与技巧 493

题型（一）有关概率分布的计算 493

题型（二）有关分布函数及密度函数的命题 495

题型（三）求两个随机变量函数的分布 499

题型（四）关于数字特征的命题 503

题型（五）应用题与综合题 508

自测题及参考答案 509

第四章 大数定律和中心极限定理 513

一、本章知识串讲 513

二、大纲考查要点诠释 513

（一）大数定律 513

（二）中心极限定理 514

三、典型题型分析及解题方法与技巧 515

题型（一）切比雪夫不等式与大数定律 515

题型（二） 中心极限定理的应用 516

自测题及参考答案 521

第五章 数理统计的基本概念 523

一、本章知识串讲 523

二、大纲考查要点诠释 523

（一）总体、样本、样本的数字特征 523

（二）统计量及抽样分布 523

三、典型题型分析及解题方法与技巧 526

自测题及参考答案 530

第六章 参数估计和假设检验 531

一、本章知识串讲 531

二、大纲考查要点诠释 531

（一）统计估计 531

（二）假设检验 534

三、典型题型分析及解题方法与技巧 535

题型（一）最大似然估计与矩估计 535

题型（二）点估计的无偏性与有效性 537

题型（三）正态总体期望与方差的区间估计 539

题型（四）正态总体期望与方差的假设检验 540

自测题及参考答案 543