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第一章 集 1

1. 集及其运算 1

1.集的概念 1

2.集的运算 2

3.上限集与下限集 5

2. 可数集 7

1.可数集 8

2.可数势？ 9

3. 连续势 11

1.连续统 12

2.连续势的运算 15

4. 势的比较 16

1.Bernstein定理 17

2.幂集 19

1.Russell 悖论 21

5. 集合公理系 21

3.连续统假设 21

2.数学“危机” 22

3.集合公理系 23

习题一 24

第二章 点集 26

1. 开集.闭集.完全集 26

1.开集 26

2.闭集 27

3.完全集 29

2. 开集、闭集的构造 32

1.开集的构造 32

2.闭集的构造 32

3.稠密集与疏朗集 33

3. Rn中开集、闭集的构造，点集隔离性 35

1.Rn中开集、闭集的构造 35

2.点集间距离与隔离性 37

1.序 40

4. 序集 40

2.Zorn引理 41

5. Peano曲线 42

1.Cantor曲线 42

2.Peano曲线 42

3.Sierpinski地毯 44

习题二 46

1.有界开集G的测度 48

1. 直线上开集、闭集的测度 48

第三章 测度 48

2.有界闭集F的测度 49

3.开集测度与闭集测度的关系 51

2. 外测度与内测度 53

1.外测度与内测度的概念 53

2.外测度与内测度的性质 54

3.外测度与内测度的半可加性 55

1.定义 56

3. Lebesgue测度 56

2.外、内测度互补性 58

3.Vallée Poussin定理 59

4.极限包与极限核 60

5.Carathéodory定理 62

4. Borel集 63

1.Borel集 63

2.L可测集类 64

3.不可测集 66

5. Rn中的点集测度 68

1.开集的测度 69

2.外测度 69

3.Rn中的可测集 70

4.Carathéodory条件 70

习题三 71

第四章 可测函数 73

1. 可测函数及其性质 73

1.Lebesgue可测函数 74

2.简单函数 75

3.L可测的充要条件 76

2. 可测函数列的上、下极限 78

1.函数列的上下确界函数 78

2.函数列的上下极限函数 79

3.发散点集 81

4.Baire函数类 84

3. 概收敛与测度收敛 88

1.概收敛与测度收敛概念 88

2.概收敛与测度收敛的关系 89

3.Egorov定理 92

4. 可测函数的构造-Luzin定理 94

1.Luzin定理 94

2.Luzin定理的拓广 96

习题四 98

1. Lebesgue积分的概念 100

第五章 Lebesgue积分 100

1.Lebesgue积分 102

2.有界可积与有界可测 105

3.Baire上、下函数，Riemann可积充要条件 108

4.Lebesgue可积函数 112

2. Lebesgue积分的性质 115

1.L积分的简单性质 115

2.积分绝对连续性与完全可加性 117

3.Lebesgue基本引理 119

3. 积分号下取极限 120

1.Levi定理 120

2.Fatou引理 121

3.Lebesgue控制收敛定理 122

4.Vitali定理 124

4. Fubini定理 126

1.直积测度 126

2.下方图形 128

3.截面定理 130

4.Fubini定理 132

5. 囿变函数与绝对连续函数 135

1.囿变函数 135

2.Jordan分解定理 138

3.Vitali覆盖引理 143

4.单调函数的导数 146

5.绝对连续函数 152

6. Stieltjes积分 160

1.Stieltjes积分 160

2.S积分存在条件 163

3.积分号下取极限 165

习题五 168

第六章 一般测度与积分 171

1. 集系 171

1.环与代数 171

3.Borel集系 174

2.σ代数 174

2. 测度空间 176

1.可测空间 176

2.测度的基本性质 177

3.Carathéodory条件 180

4.测度的扩张 184

3. 一般积分 188

1.μ可测函数 188

2.一般积分 189

3.Lebesgue-Stieltjes积分 191

4. Radon-Nikodym定理 192

1.测度绝对连续性 193

2.Hahn分解 195

3.Radon-Nikodym定理 200

4.Lebesgue分解 206

习题六 209

参考书目 212

索引 214