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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、函数概念 1

二、函数的表示法 3

三、函数的几种特性 5

四、反函数 7

第二节 初等函数 9

一、幂函数 9

二、指数函数 10

三、对数函数 10

四、三角函数 11

五、反三角函数 13

六、复合函数 16

第三节 极限 18

一、数列的极限 18

二、数列极限的几何意义 19

二、无穷大量 20

三、函数的极限 22

第四节 无穷小量和无穷大量 28

一、无穷小量 28

第五节 极限运算法则 31

第六节 极限存在准则和两个重要极限 32

第七节 无穷小量的比较 35

第八节 函数的连续性 37

一、函数连续性概念 37

二、函数的间断点 40

三、连续函数的四则运算 初等函数的连续性 44

四、闭区间上连续函数的性质 46

习题一 48

第二章 导数与微分 53

第一节 导数的概念 53

一、导数定义 53

二、求导数举例 56

三、导数的几何意义 58

四、可导与连续的关系 60

第二节 求导法则 62

一、导数的四则运算法则 62

二、复合函数的求导法则 65

三、反函数求导法则 67

一、隐函数的导数 71

第三节 隐函数及参数方程所表示的函数的导数 71

二、由参数方程所确定的函数的导数 73

第四节 高阶导数 75

第五节 函数的微分 78

一、微分的概念 78

二、微分的几何意义 81

三、基本公式与运算法则 81

四、微分应用于近似计算 84

习题二 86

第三章 中值定理及导数应用 90

第一节 中值定理 90

第二节 罗必塔法则 95

第三节 泰勒公式 99

第四节 函数的单调性 103

第五节 函数的极值 106

第六节 最大值最小值问题 112

第七节 函数图形的描绘 117

一、曲线的凹凸性和拐点 117

二、曲线的拐点 120

三、曲线的渐近线 122

四、函数图形的描绘 123

习题三 126

第四章 不定积分 132

第一节 不定积分的概念与性质 132

一、原函数与不定积分的概念 132

二、基本积分表 136

三、不定积分的性质 138

第二节 换元积分法 140

一、第一类换元法 141

二、第二类换元法 146

第三节 分部积分法 150

第四节 两种特殊类型函数的积分举例 154

一、有理函数的积分 154

二、三角函数有理式的积分 158

习题四 160

第五章 定积分及其应用 164

第一节 定积分概念 164

一、定积分问题举例 164

二、定积分定义 167

第二节 定积分的性质 169

第三节 微积分基本公式 173

一、积分上限函数及其导数 174

二、微积分基本公式 177

第四节 换元积分法与分部积分法 179

一、定积分的换元积分法 179

二、定积分的分部积分法 183

第五节 定积分的应用 186

一、定积分的元素法 187

二、直角坐标系中平面图形的面积 188

三、极坐标系中平面图形的面积 192

四、旋转体的体积 194

五、平行截面面积为已知的立体的体积 196

六、平面曲线的弧长 198

七、变力沿直线所作的功 200

八、水压力 203

第六节 广义积分 204

习题五 207

第六章 空间解析几何与向量代数 212

第一节 空间直角坐标系 212

一、空间点的直角坐标 212

二、两点间的距离 213

第二节 向量 向量的加减法 向量与数的乘积 215

一、向量概念 215

二、向量的加减法 216

三、向量与数的乘积 217

第三节 向量的坐标 220

一、向量的坐标 220

二、模与方向余弦的坐标表示式 222

第四节 数量积与向量积 224

一、两向量的数量积 224

二、两向量的向量积 227

第五节 平面及其方程 231

一、平面的点法式方程 231

二、平面的一般方程 233

三、两平面的夹角 235

第六节 空间中的直线及其方程 236

一、直线的方程 236

二、两直线的夹角 239

第七节 几种常见的曲面及其方程 241

一、球面 242

二、柱面 243

三、旋转曲面 244

四、圆锥面 245

五、旋转抛物面 246

六、椭球面 246

第八节 空间曲线及其方程 248

习题六 251

第七章 多元函数微分法及其应用 257

第一节 多元函数的基本概念 257

一、多元函数的概念 257

二、二元函数的极限与连续 260

第二节 偏导数 262

一、偏导数的定义 262

二、偏导数的计算法 263

三、偏导数的几何意义 265

四、高阶偏导数 266

第三节 全微分 269

一、全微分的定义 269

二、全微分存在的条件 270

第四节 多元复合函数的求导法则 271

第五节 隐函数的求导公式 276

第六节 偏导数的几何应用 280

一、空间曲线的切线与法平面 280

二、曲面的切平面与法线 282

第七节 二元函数的极值及其求法 285

一、二元函数的极值及最大值、最小值 285

二、条件极值 288

习题七 291

第八章 二重积分与曲线积分 295

第一节 二重积分的概念与性质 295

一、曲顶柱体的体积 295

二、二重积分的定义 296

三、二重积分的性质 297

第二节 利用直角坐标计算二重积分 298

一、二重积分在直角坐标中的计算公式 298

二、二重积分计算举例 301

第三节 利用极坐标计算二重积分 304

一、二重积分在极坐标中的计算公式 305

二、二重积分计算举例 307

第四节 二重积分的应用 310

一、平面薄片的质量 310

二、曲面的面积 311

三、平面薄片的重心 313

第五节 对弧长的曲线积分 314

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 314

二、对弧长的曲线积分的计算法 315

第六节 对坐标的曲线积分 318

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 318

二、对坐标的曲线积分的计算法 320

三、对坐标的曲线积分的物理意义 323

第七节 格林公式及其应用 324

一、格林公式 324

二、平面曲线积分与路径无关的条件 327

三、二元函数的全微分求积 330

习题八 332

第九章 无穷级数 337

第一节 常数项级数的概念与性质 337

一、常数项级数的概念 337

二、常数项级数的性质 339

第二节 正项级数的审敛法 341

一、比较审敛法 341

二、比值审敛法 344

第三节 交错级数与任意项级数的审敛法 345

一、交错级数的审敛法 346

二、绝对收敛与条件收敛 347

第四节 幂级数及其收敛性 348

一、函数项级数的概念 348

二、幂级数的收敛域 350

三、幂级数的性质 352

第五节 函数展开成幂级数 354

一、泰勒级数 354

二、函数展开成幂级数 356

第六节 幂级数展开式应用举例 360

一、近似公式与近似计算 360

二、欧拉公式 361

习题九 362

第十章 微分方程 366

第一节 微分方程的基本概念 366

第二节 可分离变量的微分方程 369

第三节 一阶线性微分方程 372

第四节 一阶微分方程应用举例 376

一、y ＝f(x)型的微分方程 382

第五节 可降阶的二阶微分方程 382

二、y ＝f(x，y )型的微分方程 383

三、y ＝f(y，y )型的微分方程 384

第六节 二阶线性微分方程解的结构 386

一、二阶线性微分方程的概念与实例 386

二、二阶线性微分方程解的结构 388

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 389

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 392

一、f(x)＝e~(λx)P_m(x)型 392

二、f(x)＝P_m(x)cosωx型 395

习题十 399

习题答案 402

附表 积分表 425

主要参考书 435