第一章 引论 1
参考文献 4
第二章 概率与随机变量(概要) 5
2.1 集论初步 5
2.1.1 集的运算 6
2.1.2 波莱尔集合体 7
2.2 概率公理与概率空间 8
2.3 随机变量 10
2.3.1 分布函数和密度函数 11
2.3.2 条件分布和统计独立性 14
2.3.3 矩 16
2.3.4 特征函数 18
2.4 随机变量的函数 20
2.4.1 随机变量的和 21
2.4.2 n个随机变量的n个函数 23
2.5 高斯随机变量和中心极限定理 25
参考文献 28
习题 28
3.1 随机过程的基本概念 32
第三章 随机过程及其分类 32
3.1.1 定义和概率分布 33
3.1.2 矩 36
3.1.3 特征函数 38
3.1.4 随机过程的分类 39
3.2 根据统计规律性的分类 40
3.2.1 平稳过程和广义平稳过程 41
3.2.2 谱密度与相关函数 45
3.2.3 各态历经性 50
3.3.1 纯粹随机过程 55
3.3 按照记忆的分类 55
3.3.2 马尔可夫过程 56
3.3.3 独立增量过程 59
3.3.4 维纳过程和泊松过程 61
3.4 高斯随机过程 64
参考文献 65
习题 66
第四章 常微分方程基础 70
4.1 微分方程解的存在和唯一性定理 70
4.1.1 微分方程的基本概念 70
4.1.2 微分方程解的存在和唯一性定理 74
4.1.4 解连续依赖于参数和始值的定理 77
4.1.3 解的延拓 77
4.2 线性微分方程 78
4.2.1 线性微分方程的一般理论 78
4.2.2 常系数线性方程组解的形式 83
4.2.3 非齐次线性微分方程组 89
4.2.4 线性系统的权函数和频率响应函数 90
4.3 小参数方法(摄动法) 95
4.4.1 基本概念 98
4.4 常微分方程解的稳定性 98
4.4.2 李雅普诺夫直接法 101
4.4.3 积分不等式的方法 104
4.5 线性和拟线性的一阶偏微分方程 108
4.6 分离变量法 110
参考文献 112
习题 112
第五章 随机极限及均方微积分 114
5.1 预备知识 114
5.2.1 均方收敛 117
5.2 随机变量序列的收敛性 117
5.2.2 依概率收敛 120
5.2.3 几乎一定收敛 123
5.2.4 依分布收敛 126
5.3 均方连续性 128
5.4 均方可微性 131
5.4.1 均方导数的性质 134
5.4.2 均方导数的均值和相关函数 136
5.4.3 均方解析性 138
5.5 均方可积性 139
5.5.1 均方黎曼积分的性质 141
5.5.2 均方黎曼积分的均值与相关函数 144
5.5.3 均方黎曼-司梯捷斯积分 147
5.6 均方导数和均方积分的分布 151
参考文献 155
习题 155
第六章 随机常微分方程 158
6.1 存在和唯一性 159
6.1.1 Ln2空间 159
6.1.2 均方解的存在和唯一性 160
6.2 伊藤方程 162
6.2.1 白噪声的表示法 163
6.2.2 伊藤方程和伊藤积分 163
6.2.3 解的存在和唯一性 170
6.3 伊藤微分法则 176
6.4 关于解过程的一般讨论 181
6.5 随机微分方程的分类 182
参考文献 183
习题 184
第七章 有随机初始条件的微分方程 186
7.1 均方理论 187
7.2 解过程的统计性质 190
7.2.1 随机变量的变换 190
7.2.2 刘维尔方程的应用 194
参考文献 197
习题 198
第八章 有随机非齐次项的微分方程 200
8.1 均方理论 201
8.1.1 伊藤型方程 203
8.1.2 伊藤型线性微分方程 204
8.2.1 均值、相关函数和谱密度 206
8.2 线性方程的解过程 206
8.2.2 一个特例 217
8.2.3 伊藤型线性方程解过程的均值和相关函数 220
8.2.4 分布函数和密度函数 227
8.3 马尔可夫过程的情况 237
8.3.1 福克尔-普朗克和柯尔莫哥洛夫方程 238
8.3.2 对伊藤方程的应用 241
8.4 非线性方程的解过程 249
8.4.1 福克尔-普朗克方程的应用 249
8.4.2 摄动法 264
8.4.3 等价线性化方法 267
参考文献 271
习题 272
第九章 有随机系数的微分方程 276
9.1 均方理论 277
9.2 一阶线性方程 277
9.3 有随机常系数的微分方程 280
9.3.1 刘维尔方程的应用 284
9.4 伊藤型微分方程 287
9.5 摄动法 297
9.5.1 直接法 298
9.5.2 矩方程 300
9.6 截断体系方法 311
9.6.1 相关删去法 313
9.6.2 累积量删去法 314
参考文献 316
习题 318
第十章 随机稳定性 320
10.1.1 积分方程方法 321
10.1 矩稳定性 321
10.1.2 伊藤型方程 331
10.1.3 近似方法在矩稳定性研究中的应用 333
10.2 李雅普诺夫稳定性 335
10.2.1 伯特伦和萨拉奇克的工作 335
10.2.2 卡茨和克拉索夫斯基的工作 339
10.2.3 伊藤型方程和随机稳定性 346
10.3 积分不等式的方法 349
10.4 微分不等式的方法 353
参考文献 356
习题 358
第十一章 随机控制 360
11.1 干扰信号的最优滤波 360
11.1.1 问题的提法 360
11.1.2 卡尔曼-布西(KaIman-Bucg)滤波 363
11.1.3 线性系统的最优滤波 365
11.2 随机动力系统的最优控制 367
11.2.1 贝尔曼方程 369
11.2.2 线性系统 370
11.2.3 滤波和控制的组合 371
参考文献 374
附录一 解过程的某些有用的性质 376
1.跨越零点和跨越门槛 376
2.极值分布 381
3.零点间区间的分布 385
4.第一次通过时间的概率 392
参考文献 398
附录二 作为分布的δ函数 400
人名对照表 412
编后记 413