第一章 消元法和行列式 1
1 消元法 1
1.1 线性方程组和消元法的基本思想 1
1.2 消元法 4
2 n阶行列式的定义 21
2.1 排列及其逆序数 21
2.2 n阶行列式的定义 24
3 n阶行列式的性质 29
3.1 n阶行列式的基本性质 29
3.2 按一行(列)展开 34
3.3 行列式的计算 37
4 克莱姆规则 49
4.1 克莱姆规则 49
4.2 齐次情形 55
第二章 线性方程组理论 60
5 n元向量 60
5.1 导引 60
5.2 n元向量及其运算 62
6 n元向量的线性相关性 66
6.1 线性组合 66
6.2 线性相关 69
6.3 线性组合与线性相关的关系 72
6.4 极大无关组与秩 74
7 矩阵的秩 80
7.1 矩阵的秩及其与矩阵的子行列式的关系 80
7.2 用初等变换求矩阵的秩 84
8 线性方程组的解 90
8.1 解的判定 90
8.2 三元一次方程组的解 96
9 线性方程组解的结构 101
9.1 基础解系 102
9.2 非齐次线性方程组解的结构 105
第三章 矩阵 109
10 矩阵的运算 109
10.1 矩阵的线性运算 109
10.2 矩阵的乘法 110
10.3 可逆矩阵 116
10.4 矩阵的转置与运算 120
11 初等矩阵 124
11.1 初等矩阵 124
11.2 初等矩阵与可逆矩阵 127
11.3 矩阵的等价 130
12 矩阵的分决 136
12.1 分块的运算 136
12.2 用分块矩阵讨论线性方程组 143
第四章 二次型 149
13 化二次型为平方和 150
13.1 用配方法化二次型为平方和 150
13.2 通过矩阵和初等变换化二次型为平方和 152
13.3 对称矩阵的合同 162
14 复二次型和实二次型 164
14.1 复二次型 164
14.2 实二次型 165
15 正定二次型 170
15.1 正定二次型的定义 170
15.2 正定二次型的判定 171
第五章 基本概念 179
16 集与映射 180
16.1 集的概念和运算 180
16.2 映射 183
17 运算 189
17.1 运算的定义 189
17.2 结合律和交换律 191
17.3 单位元和逆元 194
17.4 映射的合成 197
18 关系和等价关系 203
18.1 关系 203
18.2 等价关系 206
第六章 环与域 211
19 环 211
19.1 环的定义和例 211
19.2 环的简单性质 216
19.3 单位元与逆元 219
19.4 子环 220
20 几种特殊的环 225
20.1 整环 226
20.2 除环 229
20.3 域 231
21 商环和理想 238
21.1 商环 238
21.2 理想 244
22 环的同构与同态 247
22.1 环的同构 247
22.2 环的同态 253
22.3 环的同态基本定理 257
23 素理想与极大理想 261
23.1 素理想 261
23.2 极大理想 263
24 分式域 266
24.1 挖补定理 266
24.2 分式域 270
25 有序环与有序域 276
25.1 有序集 276
25.2 有序环与有序域 279
第七章 数系 287
26 自然数系 287
26.1 自然数的基本性质 287
26.2 自然数的序.数学归纳法 291
27 整数环 295
27.1 整数环的存在和唯一性 295
27.2 整数环的序 299
28 有理数域和复数域 303
28.1 有理数域 304
28.2 复数域 305
29 皮亚诺公理 310
29.1 自然数的皮亚诺公理 311
29.2 自然数集的唯一性 314
第八章 多项式环和因子分解 319
30 环R上的一元多项式环 319
30.1 一元多项式环的基本概念 319
30.2 带余除法 322
30.3 多项式的值和多项式的根 325
31 域上一元多项式环的整除性及因子分解 331
31.1 整除的概念和基本性质 331
31.2 因式分解 333
31.3 因式分解定理的作用 338
31.4 辗转相除法 343
32 重因式 351
32.1 重因式 351
32.2 重根 353
33 几个常见域上一元多项式的因式分解 355
33.1 复数域和实数域上一元多项式的因式分解 355
33.2 有限域上一元多项式的因式分解 358
34 整环的整除性及因子分解 359
34.1 整除的概念和基本性质 360
34.2 唯一分解整环 362
34.3 欧氏整环和主理想整环 364
35 整环上一元多项式环的整除性及因式分解 369
35.1 I[x]与F[x]在整除性上异同 369
35.2 唯一分解整环上的一元多项式环 371
35.3 有理数域上一元多项式的因式分解 376
36 多元多项式环 381
36.1 多元多项式的基本概念和基本性质 381
36.2 对称多项式 385
第九章 群 391
37 交换群的定义和性质 391
37.1 定义和简单性质 391
37.2 子群 395
37.3 加群的商群 397
37.4 加群的同构和同态 399
38 循环群 403
38.1 循环群的定义和例 403
38.2 循环群的子群与商群 405
39 有限加群 407
39.1 和与直和 407
39.2 有限加群的结构 411
40 加群的自同态环 419
40.1 加群的自同态环 419
40.2 循环群的自同态环 422
41 群的定义和性质 424
41.1 定义和简单性质 424
41.2 子群 428
42 变换群 430
42.1 交换群 430
42.2 置换群 434
43 商群和正规子群 443
43.1 商群 443
43.2 正规子群 448
第十章 向量空间与线性变换 457
44 向量空间 457
44.1 向量空间的定义和基本性质 457
44.2 基变换与坐标变换 464
44.3 向量空间的同构 469
45 向量空间的子空间 474
45.1 定义及判别 474
45.2 和与直和 477
45.3 商空间 483
46 线性变换 486
46.1 线性变换的定义和性质 486
46.2 线性变换代数 489
46.3 线性变换与矩阵 492
47 矩阵的相似标准形 505
47.1 矩阵的相似 505
47.2 不变子空间 508
47.3 特征根与特征向量 511
47.4 具有对角形矩阵的线性变换 516
47.5 若当标准形 523
第十一章 欧氏空间与正交变换 533
48 欧氏空间的基本概念 533
48.1 欧氏空间的定义与基本性质 533
48.2 向量的长度、夹角与距离 536
48.3 欧氏空间的内积与正定矩阵 538
49 标准正交基 542
49.1 正交化方法 542
49.2 欧氏空间的同构 544
49.3 正交矩阵 545
50 子空间的正交直和 547
50.1 正交子空间 547
50.2 最小二乘问题 550
51 正交变换 553
51.1 正交变换的定义与性质 554
51.2 正交矩阵的标准形 557
52 对称变换 564
52.1 对称变换的定义与性质 564
52.2 实对称矩阵的相似合同标准形 565
52.3 主轴问题 571
53 U空间与内积空间 576
53.1 U空间 576
53.2 内积空间 579