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第一章 消元法和行列式 1

1 消元法 1

1.1 线性方程组和消元法的基本思想 1

1.2 消元法 4

2 n阶行列式的定义 21

2.1 排列及其逆序数 21

2.2 n阶行列式的定义 24

3 n阶行列式的性质 29

3.1 n阶行列式的基本性质 29

3.2 按一行(列)展开 34

3.3 行列式的计算 37

4 克莱姆规则 49

4.1 克莱姆规则 49

4.2 齐次情形 55

第二章 线性方程组理论 60

5 n元向量 60

5.1 导引 60

5.2 n元向量及其运算 62

6 n元向量的线性相关性 66

6.1 线性组合 66

6.2 线性相关 69

6.3 线性组合与线性相关的关系 72

6.4 极大无关组与秩 74

7 矩阵的秩 80

7.1 矩阵的秩及其与矩阵的子行列式的关系 80

7.2 用初等变换求矩阵的秩 84

8 线性方程组的解 90

8.1 解的判定 90

8.2 三元一次方程组的解 96

9 线性方程组解的结构 101

9.1 基础解系 102

9.2 非齐次线性方程组解的结构 105

第三章 矩阵 109

10 矩阵的运算 109

10.1 矩阵的线性运算 109

10.2 矩阵的乘法 110

10.3 可逆矩阵 116

10.4 矩阵的转置与运算 120

11 初等矩阵 124

11.1 初等矩阵 124

11.2 初等矩阵与可逆矩阵 127

11.3 矩阵的等价 130

12 矩阵的分决 136

12.1 分块的运算 136

12.2 用分块矩阵讨论线性方程组 143

第四章 二次型 149

13 化二次型为平方和 150

13.1 用配方法化二次型为平方和 150

13.2 通过矩阵和初等变换化二次型为平方和 152

13.3 对称矩阵的合同 162

14 复二次型和实二次型 164

14.1 复二次型 164

14.2 实二次型 165

15 正定二次型 170

15.1 正定二次型的定义 170

15.2 正定二次型的判定 171

第五章 基本概念 179

16 集与映射 180

16.1 集的概念和运算 180

16.2 映射 183

17 运算 189

17.1 运算的定义 189

17.2 结合律和交换律 191

17.3 单位元和逆元 194

17.4 映射的合成 197

18 关系和等价关系 203

18.1 关系 203

18.2 等价关系 206

第六章 环与域 211

19 环 211

19.1 环的定义和例 211

19.2 环的简单性质 216

19.3 单位元与逆元 219

19.4 子环 220

20 几种特殊的环 225

20.1 整环 226

20.2 除环 229

20.3 域 231

21 商环和理想 238

21.1 商环 238

21.2 理想 244

22 环的同构与同态 247

22.1 环的同构 247

22.2 环的同态 253

22.3 环的同态基本定理 257

23 素理想与极大理想 261

23.1 素理想 261

23.2 极大理想 263

24 分式域 266

24.1 挖补定理 266

24.2 分式域 270

25 有序环与有序域 276

25.1 有序集 276

25.2 有序环与有序域 279

第七章 数系 287

26 自然数系 287

26.1 自然数的基本性质 287

26.2 自然数的序.数学归纳法 291

27 整数环 295

27.1 整数环的存在和唯一性 295

27.2 整数环的序 299

28 有理数域和复数域 303

28.1 有理数域 304

28.2 复数域 305

29 皮亚诺公理 310

29.1 自然数的皮亚诺公理 311

29.2 自然数集的唯一性 314

第八章 多项式环和因子分解 319

30 环R上的一元多项式环 319

30.1 一元多项式环的基本概念 319

30.2 带余除法 322

30.3 多项式的值和多项式的根 325

31 域上一元多项式环的整除性及因子分解 331

31.1 整除的概念和基本性质 331

31.2 因式分解 333

31.3 因式分解定理的作用 338

31.4 辗转相除法 343

32 重因式 351

32.1 重因式 351

32.2 重根 353

33 几个常见域上一元多项式的因式分解 355

33.1 复数域和实数域上一元多项式的因式分解 355

33.2 有限域上一元多项式的因式分解 358

34 整环的整除性及因子分解 359

34.1 整除的概念和基本性质 360

34.2 唯一分解整环 362

34.3 欧氏整环和主理想整环 364

35 整环上一元多项式环的整除性及因式分解 369

35.1 I[x]与F[x]在整除性上异同 369

35.2 唯一分解整环上的一元多项式环 371

35.3 有理数域上一元多项式的因式分解 376

36 多元多项式环 381

36.1 多元多项式的基本概念和基本性质 381

36.2 对称多项式 385

第九章 群 391

37 交换群的定义和性质 391

37.1 定义和简单性质 391

37.2 子群 395

37.3 加群的商群 397

37.4 加群的同构和同态 399

38 循环群 403

38.1 循环群的定义和例 403

38.2 循环群的子群与商群 405

39 有限加群 407

39.1 和与直和 407

39.2 有限加群的结构 411

40 加群的自同态环 419

40.1 加群的自同态环 419

40.2 循环群的自同态环 422

41 群的定义和性质 424

41.1 定义和简单性质 424

41.2 子群 428

42 变换群 430

42.1 交换群 430

42.2 置换群 434

43 商群和正规子群 443

43.1 商群 443

43.2 正规子群 448

第十章 向量空间与线性变换 457

44 向量空间 457

44.1 向量空间的定义和基本性质 457

44.2 基变换与坐标变换 464

44.3 向量空间的同构 469

45 向量空间的子空间 474

45.1 定义及判别 474

45.2 和与直和 477

45.3 商空间 483

46 线性变换 486

46.1 线性变换的定义和性质 486

46.2 线性变换代数 489

46.3 线性变换与矩阵 492

47 矩阵的相似标准形 505

47.1 矩阵的相似 505

47.2 不变子空间 508

47.3 特征根与特征向量 511

47.4 具有对角形矩阵的线性变换 516

47.5 若当标准形 523

第十一章 欧氏空间与正交变换 533

48 欧氏空间的基本概念 533

48.1 欧氏空间的定义与基本性质 533

48.2 向量的长度、夹角与距离 536

48.3 欧氏空间的内积与正定矩阵 538

49 标准正交基 542

49.1 正交化方法 542

49.2 欧氏空间的同构 544

49.3 正交矩阵 545

50 子空间的正交直和 547

50.1 正交子空间 547

50.2 最小二乘问题 550

51 正交变换 553

51.1 正交变换的定义与性质 554

51.2 正交矩阵的标准形 557

52 对称变换 564

52.1 对称变换的定义与性质 564

52.2 实对称矩阵的相似合同标准形 565

52.3 主轴问题 571

53 U空间与内积空间 576

53.1 U空间 576

53.2 内积空间 579