第一章 摄动方法 1
1 基本概念 1
1-1 摄动问题的提出 1
1-2 量阶符号 2
1-3 渐近展开式 2
1-4 正则摄动与奇异摄动 3
2 正则摄动方法举例 5
3 奇异摄动问题举例 7
4 多重尺度法 12
4-1 直接展开法 12
4-2 精确解 13
4-3 多重尺度法的应用 16
5 几点说明 23
习题1-1 25
参考文献 26
第二章 泛函分析基础 27
1 集的基本概念 27
1-1 集和集的运算 27
1-2 集的对等 30
1-3 可列集与不可列集 32
习题2-1 34
2 距离空间 36
2-1 距离空间的概念 36
2-2 开集·数轴上开集的构造 38
2-3 收敛序列和闭集 40
2-4 稠密集·可分空间 43
2-5 距离空间的完备性与完备化 45
2-6 压缩映照原理 47
2-7 距离空间内集的列紧性 52
习题2-2 55
3-1 积分概念扩充的必要性 59
3 勒贝格测度与勒贝格积分 59
3-2 数轴上点集的测度 61
3-3 可测函数 68
3-4 有界可测函数的勒贝格积分 74
3-5 无界函数的勒贝格积分 81
3-6 多元函数的勒贝格积分与富比尼定理 83
习题2-3 85
4 线性有界算子·巴拿赫空间中的几个定理 87
4-1 线性赋范空间 87
4-2 线性有界算子 92
4-3 共轭空间 99
4-4 巴拿赫空间中的基本定理 100
习题2-4 107
5 希尔伯特空间 108
5-1 内积空间 108
5-2 希尔伯特空间中的正交展开 114
5-3 希尔伯特空间的同构 122
5-4 希尔伯特空间上有界线性泛函的一般形式 125
习题2-5 128
参考文献 129
第三章 泛函极值及变分法 131
1 算子的微分 131
1-1 Gateaux微分 131
1-2 Frechet微分 133
2 泛函的极值 136
2-1 泛函极值及其必要条件 136
2-2 Euler-Lagrange方程 136
习题3-2 140
3 自由边界和自然边界条件 141
习题3-3 143
4 变分原理 143
4-1 线性算子方程 143
4-2 共轭算子和自共轭算子 144
4-3 正定对称算子的变分原理 147
5 泛函的条件极值 150
5-1 有限维约束条件 150
5-2 无穷维约束条件 156
习题3-5 163
6 变分问题的近似方法 163
6-1 Ritz法 163
6-2 Galerkin法 167
6-3 坐标函数的选取 171
习题3-6 173
参考文献 173
第四章 积分方程 175
1 积分方程的概念和分类 175
1-1 基本概念 175
1-2 积分方程与微分方程的关系 178
2 积分方程解的存在唯一性 181
习题4-1 181
习题4-2 185
3 自共轭积分算子的谱理论 185
3-1 全连续自共轭算子及其特征值和特征函数系 185
3-2 依特征函数系的展开定理 193
习题4-3 203
4 Fredholm定理 204
4-1 线性代数方程的Fredholm定理 204
4-2 退化核积分方程的代数解法 205
4-3 退化核积分方程的Fredholm定理 207
4-4 连续核及平方可积核的Fredholm定理 211
习题4-4 211
参考文献 212
第五章 广义函数与偏微分方程广义解 213
1 引言 213
1-1 古典函数的局限性 213
1-2 偏微分方程古典解的局限性 214
1-3 广义函数的引入与δ函数 218
2 基本空间 220
2-1 空间C∞(Ω) 220
2-2 空间C？(Ω) 222
2-3 速降函数空间？(Rn) 225
2-4 半范与B0空间 227
习题5-2 229
3 广义函数及其运算 230
3-1 ？1，1？及？1广义函数 230
3-2 广义函数的支集 234
3-3 广义函数的极限 236
3-4 广义函数的导数 237
3-5 广义函数的乘子 240
3-6 广义函数的自变量变换 242
3-7 广义函数的卷积 244
习题5-3 246
4 Fourier变换 248
4-1 ？(Rn)上的Fourier变换 248
4-2 ？′(Rn)上的Fourier变换 252
习题5-4 257
5 偏微分方程基本解 257
5-1 线性偏微分方程基本解 258
5-2 波动方程Cauchy问题的基本解及广义解 267
5-3 热传导方程Cauchy问题的基本解及广义解 269
习题5-5 270
6 偏微分方程广义解 271
6-1 线性偏微分方程广义解存在的充分必要条件 271
6-2 Sobolev空间简介 277
6-3 二阶椭圆型方程Dirichlet问题在H？(Ω)中的可解性 280
参考文献 283
附录 Fourier变换简表 284
习题答案 287