数学物理方程中的近代分析方法PDF电子书下载

第一章 摄动方法 1

1 基本概念 1

1-1 摄动问题的提出 1

1-2 量阶符号 2

1-3 渐近展开式 2

1-4 正则摄动与奇异摄动 3

2 正则摄动方法举例 5

3 奇异摄动问题举例 7

4 多重尺度法 12

4-1 直接展开法 12

4-2 精确解 13

4-3 多重尺度法的应用 16

5 几点说明 23

习题1-1 25

参考文献 26

第二章 泛函分析基础 27

1 集的基本概念 27

1-1 集和集的运算 27

1-2 集的对等 30

1-3 可列集与不可列集 32

习题2-1 34

2 距离空间 36

2-1 距离空间的概念 36

2-2 开集·数轴上开集的构造 38

2-3 收敛序列和闭集 40

2-4 稠密集·可分空间 43

2-5 距离空间的完备性与完备化 45

2-6 压缩映照原理 47

2-7 距离空间内集的列紧性 52

习题2-2 55

3-1 积分概念扩充的必要性 59

3 勒贝格测度与勒贝格积分 59

3-2 数轴上点集的测度 61

3-3 可测函数 68

3-4 有界可测函数的勒贝格积分 74

3-5 无界函数的勒贝格积分 81

3-6 多元函数的勒贝格积分与富比尼定理 83

习题2-3 85

4 线性有界算子·巴拿赫空间中的几个定理 87

4-1 线性赋范空间 87

4-2 线性有界算子 92

4-3 共轭空间 99

4-4 巴拿赫空间中的基本定理 100

习题2-4 107

5 希尔伯特空间 108

5-1 内积空间 108

5-2 希尔伯特空间中的正交展开 114

5-3 希尔伯特空间的同构 122

5-4 希尔伯特空间上有界线性泛函的一般形式 125

习题2-5 128

参考文献 129

第三章 泛函极值及变分法 131

1 算子的微分 131

1-1 Gateaux微分 131

1-2 Frechet微分 133

2 泛函的极值 136

2-1 泛函极值及其必要条件 136

2-2 Euler-Lagrange方程 136

习题3-2 140

3 自由边界和自然边界条件 141

习题3-3 143

4 变分原理 143

4-1 线性算子方程 143

4-2 共轭算子和自共轭算子 144

4-3 正定对称算子的变分原理 147

5 泛函的条件极值 150

5-1 有限维约束条件 150

5-2 无穷维约束条件 156

习题3-5 163

6 变分问题的近似方法 163

6-1 Ritz法 163

6-2 Galerkin法 167

6-3 坐标函数的选取 171

习题3-6 173

参考文献 173

第四章 积分方程 175

1 积分方程的概念和分类 175

1-1 基本概念 175

1-2 积分方程与微分方程的关系 178

2 积分方程解的存在唯一性 181

习题4-1 181

习题4-2 185

3 自共轭积分算子的谱理论 185

3-1 全连续自共轭算子及其特征值和特征函数系 185

3-2 依特征函数系的展开定理 193

习题4-3 203

4 Fredholm定理 204

4-1 线性代数方程的Fredholm定理 204

4-2 退化核积分方程的代数解法 205

4-3 退化核积分方程的Fredholm定理 207

4-4 连续核及平方可积核的Fredholm定理 211

习题4-4 211

参考文献 212

第五章 广义函数与偏微分方程广义解 213

1 引言 213

1-1 古典函数的局限性 213

1-2 偏微分方程古典解的局限性 214

1-3 广义函数的引入与δ函数 218

2 基本空间 220

2-1 空间C∞(Ω) 220

2-2 空间C？(Ω) 222

2-3 速降函数空间？(Rn) 225

2-4 半范与B0空间 227

习题5-2 229

3 广义函数及其运算 230

3-1 ？1，1？及？1广义函数 230

3-2 广义函数的支集 234

3-3 广义函数的极限 236

3-4 广义函数的导数 237

3-5 广义函数的乘子 240

3-6 广义函数的自变量变换 242

3-7 广义函数的卷积 244

习题5-3 246

4 Fourier变换 248

4-1 ？(Rn)上的Fourier变换 248

4-2 ？′(Rn)上的Fourier变换 252

习题5-4 257

5 偏微分方程基本解 257

5-1 线性偏微分方程基本解 258

5-2 波动方程Cauchy问题的基本解及广义解 267

5-3 热传导方程Cauchy问题的基本解及广义解 269

习题5-5 270

6 偏微分方程广义解 271

6-1 线性偏微分方程广义解存在的充分必要条件 271

6-2 Sobolev空间简介 277

6-3 二阶椭圆型方程Dirichlet问题在H？(Ω)中的可解性 280

参考文献 283

附录 Fourier变换简表 284

习题答案 287