第一章 函数 1
§1 集合与集合的映射 1
一 集合 1
二 集合的映射 2
§2 实数集 4
一 实数与数轴 4
二 区间与邻域 5
§3 函数概念 7
一 变量与常量 7
二 函数的定义 8
三 函数的几何意义 11
四 函数的几种性质 15
§4 复合函数与反函数 18
一 复合函数 18
二 反函数 20
§5 初等函数 24
一 基本初等函数 24
二 初等函数 30
三 双曲函数 31
一 面积问题 34
§1 数列的极限 34
第二章 极限 34
二 数列的极限概念 37
§2 函数的极限 46
一 自变量趋向有限值时函数的极限 46
二 自变量趋向无穷时函数的极限 53
三 无穷小量与无穷大量 55
四 海涅(Heine)定理 59
§3 函数极限的性质与运算 62
一 极限与函数值的关系 62
二 函数极限与无穷小的关系 63
三 无穷小的性质 64
四 极限的四则运算定理 66
§4 极限存在的准则及两个重要极限 72
一 夹挤准则 72
二 单调有界准则 76
§5 无穷小量的比较 81
§6 连续函数 84
一 函数的连续性 84
二 函数的间断点 87
三 初等函数的连续性 90
四 连续函数在闭区间上的性质 94
五 一致连续概念 98
第三章 导数与微分 101
§1 导数概念 101
一 导数问题的引例 101
二 导数的定义 104
三 导数的几何意义 108
四 函数的可导性与连续性的关系 112
五 常数和几个基本初等函数的导数 115
§2 函数的微分法 119
一 函数的和、差、积、商的求导法则 119
二 反函数的导数 124
三 复合函数的微分法 128
四 高阶导数 135
五 相关变化率 139
§3 函数微分的概念 141
一 微分的概念 141
二 微分的几何意义 145
三 微分公式 146
§4 微分在近似计算上的应用 149
一 函数的近似公式 149
二 函数值的误差估计 152
一 隐函数的导数 156
§5 隐函数及参量函数的导数 156
二 参量函数的导数 161
三 极坐标系下曲线切线的斜率 165
第四章 导数的应用 168
§1 微分学中值定理 168
一 罗尔定理 168
二 拉格朗日定理 170
三 柯西定理 174
§2 罗比塔(L′Hospita)法则 177
一 0/0型未定式 177
二 ∞/∞型未定式 181
三 其它类型的未定式 184
§3 函数的增减性与极值 186
一 函数增减的必要条件与充分条件 186
二 函数的极值及其求法 191
§4 函数的最大值、最小值 198
§5 曲线的凹凸性与拐点 203
§6 在直角坐标系下函数图形的描绘 209
一 曲线的渐近线 210
二 函数图形的描绘 212
§7 台劳(Taylor)公式 215
一 弧微分 224
§8 曲率 224
二 曲率 227
三 曲率圆 233
四 渐屈线与渐伸线 236
§9 方程的近似根 238
第五章 不定积分 244
§1 不定积分的概念 244
一 原函数 244
二 不定积分的几何意义 246
三 不定积分的性质 248
四 基本积分表 249
§2 基本积分法 252
一 换元积分法 253
二 分部积分法 267
§3 几类函数的积分法 273
一 有理函数的积分 273
二 三角函数有理式的积分 284
三 两种无理函数的积分 288
§4 积分表的使用 294
§1 定积分的概念 298
一 定积分问题的两个引例 298
第六章 定积分 298
二 定积分的定义 302
三 定积分的几何意义 305
§2 定积分的性质 308
一 定积分的性质 308
二 定积分的中值定 312
§3 定积分与原函数的关系 315
一 变上限的定积分 315
二 牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式 317
一 定积分的换元公式 321
§4 定积分的计算方法 321
二 定积分的分部积分公式 328
§5 定积分的近似计算法 331
一 矩形法 331
二 梯形法 333
三 抛物线法 334
§6 广义积分初步与Γ函数 341
一 积分区间为无穷的广义积分 341
二 无界函数的广义积分 345
三 Γ函数 348
§7 定积分在几何上的应用 350
一 平面图形的面积S 351
二 立体的体积V 358
三 平面曲线的弧长S 364
四 旋转体的侧面积 368
§8 定积分在物理上的应用 370
一 变力所作的功 370
二 引力问题 373
三 液体的侧压力 375
四 函数的平均值 376
一 空间点的直角坐标 380
§1 空间直角坐标系 380
第七章 空间解析几何与矢量代数 380
二 空间两点间的距离 384
§2 矢量代数 386
一 矢量概念 386
二 矢量的运算 387
三 矢量的坐标表达式 391
四 数量积、矢量积、混合积 399
§3 平面及其方程 407
一 曲面方程的概念 407
二 平面的点法式方程 410
三 平面的一般式方程 412
四 平面的截距式方程 414
五 两平面的夹角 415
§4 空间直线及其方程 418
一 空间曲线方程的概念 418
二 直线的标准式方程与参量式方程 419
三 直线的一般式方程 421
四 两直线的相互位置 423
五 直线与平面的夹角 424
§5 曲面及其方程 426
一 柱面 426
二 旋转面 428
§6 二次曲面 431
一 椭球面 431
二 抛物面 433
三 双曲面 434
四 空间立体图形作法举例 437
§7 空间曲线及其方程 439
一 空间曲线的一般方程 439
二 空间曲线的参量方程 440
三 空间曲线在坐标面上的投影曲线 442
附录 积分表 447